การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

การแก้สมการ คือ การหาค่าของตัวแปรในสมการที่ทำให้สมการเป็นจริงโดยอาศัยสมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง ดังนี้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ สมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และเลขขี้กำลังของตัวแปรเป็น 1 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวจะสามารถเขียนให้อยู่ในรูปอย่างง่าย ดังนี้
ax + b = 0 เมื่อ a, b เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 เช่น2x+3 = 0
2a+1 = 0สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริงเมื่อ a, b และ c เป็นจำนวนจริง
1)สมบัติสมมาตร (symmetric property)
ถ้า a = b แล้ว b = a2) สมบัติการถ่ายทอด (transitive property)
ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
3) สมบัติการแจกแจงหรือการกระจาย(distributiveproperty)
a(b+c) = ab + ac
4) สมบัติการบวก(additiveproperty)
ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
หรือ a - c = b - c
5) สมบัติการคูณ (multiplicative property)
ถ้า a = b แล้ว
a x c = b x c
หรือ a / c = b / c เมื่อ c ไม่เท่ากับ 0วิธีแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวทำได้ดั้งนี้1) จัดสมการให้อยู่ในรูปอย่างง่าย โดยให้ตัวแปรอยู่ข้างหนึ่ง และตัวคงที่อยู่อีกข้างหนึ่ง โดยใช้คุณสมบัติการบวก
(2) ถ้าสมการอยู่ในรูปของเศษส่วน ให้พยายามทำส่วนให้หมด โดยนำ ค.ร.น. ของส่วนคูณทุกพจน์
(3) ถ้าสมการอยู่ในรูปที่มีวงเล็บ ให้จัดการถอดวงเล็บออกก่อนโดยใช้สมบัติการแจกแจง
(4) ดำเนินการแก้สมการโดยใช้สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง หรือจะทำอย่างรวดเร็วโดยการย้ายข้าง (การย้ายให้เปลี่ยนเครื่องหมายของตัวที่ย้าย จากบวกเป็นลบ จากลบเป็นบวก จากคูณเป็นหาร จากหารเป็นคูณ โดยจะย้าย
จากซ้ายไปขวาหรือขวาไปซ้ายก็ได้ ซึ่งการย้ายข้างก็คือ ก็คือ การใช้สมบัติเท่ากันของจำนวนจริงนั้นเองสมการเชิงเส้นสองตัวแปร กราฟเส้นตรงกราฟเส้นตรงสมการกราฟเส้นตรงจะอยู่ในรูปต่าง ๆ ดังนี้1. y = mx + c เป็นสมการเส้นตรงในรูปความชันที่มีความชัน
เท่ากับ m และระยะตัดแกน Y เท่ากับ c
ตัวอย่างy = 3x + 2 y = 2x - 5
y = x + 7
y = - x - 82. Ax + By + C = 0 เป็นสมการเส้นตรงในรูปทั่วไป
ตัวอย่างเช่น x + 2y + 5 = 0
3x - 4y - 12 = 0
8x + 7y - 20 = 0
เราสามารถเปลี่ยนสมการเส้นตรงในรูปทั่วไปให้ในรูปความชันได้ ดังนี้
Ax + By + C = 0
By = - Ax - C
Y = - X - (นำ B หารตลอด)
เมื่อเทียบ y = mx + c
จะได้ m = - และ C = -3. y = c เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน X และอยู่ห่างจากแกน X เป็นระยะทาง C หน่วย
ตัวอย่าง
Y = 2 เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน X และอยู่เหนือแกน X = 2 หน่วย
Y = -5 เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน X และ
อยู่ใต้แกน X = 5 หน่วย4. X = C เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และอยู่ห่างจากแกน Y เป็นระยะ 5 หน่วย |C| หน่วย
ตัวอย่าง
X = 3 เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และอยู่ห่าง
จาก แกน Y ไปทางขวา 3 หน่วย
X = -4 เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และห่างอยู่
จาก แกน Y ไปทางซ้าย 4 หน่วยการเขียนกราฟแสดงเส้นตรง
การเขียนกราฟแสดงเส้นตรงเราอาจกำหนดจุด 2 จุด จากสมการ
ที่กำหนดให้แล้วลากเส้นผ่านจุดทั้งสองนั้น เพื่อป้องกันความผิดพลาดอาจกำหนดจุดมากกว่า 2 จุดก็ได้ ส่วนมากนิยมหาจุดที่กราฟตัดแกน X และแกน Y กราฟตัดแกน X เมื่อค่า y = 0 กราฟตัดแกน y เมื่อค่า X = 0
สมการที่อยู่ในรูประยะตัดแกน X และแกน Y คือ + = 1
เมื่อ a เป็นระยะตัดแกน X และ b เป็นระยะตัดแกน Y
จากสมการดังกล่าวเราได้จุดที่กราฟตัดแกน X คือ ( a , 0 ) และกราฟตัดแกน Y ที่จุด (0 , b)
ข้อสังเกต
ถ้าต้องการตรวจสอบกราฟที่เขียนมาถูกต้องหรือไม่ ให้สมมุติค่า X แล้วแทนในสมการ y = 2x - 5 เพื่อหาค่า y ดังนี้
ให้ x = 3 , y = 2(3) - 5 = 1
ดังนั้น จุด (3 , 1) จะอยู่บนเส้นตรงซึ่งมีสมการเป็น y = 2x - 5ความชัน (Slope) ของเส้นตรง
ความชันของเส้นตรงที่เป็นสมการ y = mx + c คือ m
ความชันของเส้นตรงที่สมการเป็น Ax + By + C = 0 คือ -
ตัวอย่าง
ความชันของเส้นตรงที่เป็นสมการ y = 2x - 3 คือ 2
ความชันของเส้นตรงที่สมการเป็น 3x - 2y + 5 = 0 คือ =ข้อสังเกต
1. เส้นตรง y = 3x - 5 มีความชันเป็นบวก กราฟจะทำมุมแหลมกับแกน X ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
2. เส้นตรง 3x + 4y - 12 = 0 มีความชันเป็นลบ กราฟจะทำมุมป้านกับแกน X ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
3. ถ้ากราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน X จะมีความชันเป็นศูนย์
4. ถ้ากราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y เส้นตรงนั้นไม่มีความชันกราฟเส้นตรงกับการนำไปใช้
การใช้กราฟเส้นตรงแสดงความสัมพันธ์ของปริมาณสองชุดเป็นการบอกลักษณะของข้อมูลได้อย่างรวดเร็วและชัดเจน ถ้าเราทราบปริมาณหนึ่ง จะหาค่าอีกปริมาณหนึ่งได้ กราฟเส้นตรง
กราฟเส้นตรงเป็นกราฟที่เขียนจากสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร ซึ่งอยู่ในรูปทั่วไป
Ax + By + C = 0
เมื่อ A , B และ C เป็นค่าคงตัว ที่ A , B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และจากรูปทั่วไปสมการเปลี่ยนให้อยู่ในรูปมาตราฐานคือ
y = mx + c m และ c เป็นค่าคงตัวการจัดสมการจากรูปทั่วไปเป็นมาตราฐานสามารถจัดได้กับสมการเชิงเส้นทุกสมการ และค่า m และ C จะทำให้บอกลักษณะของกราฟเส้นตรง
ถ้าความชันเป็น+ กราฟจะทำมุมแหลมกับแกน x ถ้าความชันเป็น- กราฟจะทำมุมป้านกับแกน x


ที่มา  http://www.slideshare.net/JiraprapaSuwannajak/ss-8618590

การคูณและการหารเลขฐาน

1. การคูณ
1.1 การคูณเลขฐานสอง
ระบบเลขฐานสองมีตัวเลขเพียงสองตัวคือ 0 กับ 1
การคูณในระบบเลขฐานสอง เราสามารถกระทำได้ในลักษณะเช่นเดียวกับการคูณเลขฐานสิบ
ซึ่งก็คือ ทำการตั้งหลักของการคูณให้ตรงกัน โดยเริ่มจากบิท หรือหลักตัวเลขทางขวามือสุดก่อน
เมื่อได้ทำการคูณ ตัวตั้งด้วยตัวคูณทุกตำแหน่งแล้ว ก็ให้ทำการบวกโดยใช้กฎการบวกเลขฐานสองตามปกติทุกประการ
การคูณจึงมีหลักเกณฑ์ดังนี้
1 × 1 = 1
1 × 0 = 0
0 × 1 = 0
0 × 0 = 0

1.2 การคูณเลขฐานแปด
ระบบเลขฐานแปดมีตัวเลขที่ใช้เพียงแปดตัวคือ 0 1 2 3 4 5 6 และ 7
การคูณในระบบเลขฐานแปด เราสามารถกระทำได้ในลักษณะเช่นเดียวกับการคูณเลขฐานสิบ
ซึ่งก็คือ ทำการตั้งหลักของการคูณให้ตรงกัน โดยเริ่มจากบิท หรือหลักตัวเลขทางขวามือสุดก่อน
แต่การคูณเลขฐานแปดนั้นมีหลักเกณฑ์สำคัญ คือ ถ้าผลลัพธ์ของการคูณเลขแต่ละบิทมีค่าเกิน 7
ให้นำ 8 ไปหารค่านั้น โดยนำผลลัพธ์ของการหารไปเป็นตัวทดในบิทถัดไป
และเศษของการหารใส่เป็นผลลัพธ์ในหลักที่ทำการคูณกันนั้น เมื่อได้ทำการคูณตัวตั้งด้วยตัวคูณทุกตำแหน่งแล้ว
ก็ให้ทำการบวกโดยใช้กฎการบวกเลขฐานแปดตามปกติทุกประการ
เพื่อความเข้าใจมากยิ่งขึ้นศึกษาจากตัวอย่างดังต่อไปนี้

1.3 การคูณเลขฐานสิบหก
ระบบเลขฐานสิบหกมีตัวเลขที่ใช้ 16 ตัวคือ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E และ F
การคูณในระบบเลขฐานสิบหก เราสามารถกระทำได้ในลักษณะเช่นเดียวกับการคูณเลขฐานสิบ
ซึ่งก็คือ ทำการตั้งหลักของการคูณให้ตรงกัน โดยเริ่มจากบิท หรือหลักตัวเลขทางขวามือสุดก่อน
แต่การคูณเลขฐานสิบหกนั้นมีหลักเกณฑ์สำคัญ คือ ถ้าผลลัพธ์ของการคูณเลขแต่ละบิทเมื่อคูณกันแล้วมีค่าเกิน 15 หรือค่า F
ให้นำ 16 ไปหารค่านั้น โดยนำผลลัพธ์ของการหารไปเป็นตัวทดในบิทถัดไป
และเศษของการหารใส่เป็นผลลัพธ์ในหลักที่ทำการคูณกันนั้น เมื่อได้ทำการคูณตัวตั้งด้วยตัวคูณทุกตำแหน่งแล้ว
ก็ให้ทำการบวกโดยใช้กฎการบวกเลขฐานสิบหกตามปกติทุกประการ
เพื่อความเข้าใจมากยิ่งขึ้นศึกษาจากตัวอย่างดังต่อไปนี้

2. การหาร

2.1 การหารเลขฐานสอง
การหารในระบบเลขฐานสอง ก็จะทำเช่นเดียวกันกับการหารเลขฐานสิบ โดยใช้วิธีการหารแบบตั้งหารยาว
เกณฑ์การหารเลขฐานสองสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้
0 / 1 = 0
1 / 1 = 1

2.2 การหารเลขฐานแปด
การหารเลขฐานแปดก็มีวิธีเช่นเดียวกับการหารเลขฐานสิบ คือมีหลักการคูณด้วย และทำโดยใช้วิธีตั้งหารยาว
เพื่อความเข้าใจมากยิ่งขึ้นศึกษาจากตัวอย่างดังต่อไปนี้

2.3 การหารเลขฐานสิบหก
การหารเลขฐานสิบหกก็มีวิธีเช่นเดียวกับการหารเลขฐานสิบ คือมีหลักการคูณด้วย และทำโดยใช้วิธีตั้งหารยาว
เพื่อความเข้าใจมากยิ่งขึ้นศึกษาจากตัวอย่างดังต่อไปนี้

ที่มา http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93%E0%B9%81%E0%B8%A5%E0%B8%B0%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99

สมบัติของจำนวนนับ

ตัวประกอบ

ตัวประกอบของจำนวนนับใดๆ คือ จำนวนนับที่หารจำนวนนับนั้นลงตัว

Exercise จงหาตัวประกอบของ 18

Solution จำนวนนับที่หาร 18 ลงตัว ได้แก่ 1,2,3,6,9,18

ดังนั้นตัวประกอบของ 18 คือ 1,2,3,6,9,18

Exercise จงหาตัวประกอบของ 132

Solution จำนวนนับที่หาร 132ลงตัว ได้แก่ 1,132,2,66,3,44,4,33,6,22,11,12

ดังนั้นตัวประกอบของ 132 ได้แก่ 1,2,3,4,6,11,12,22,33,44,66,132

Exercise จงหาตัวประกอบของ 113

Solution จำนวนนับที่หาร 113 ลงตัวมีเพียง 2 จำนวนคือ 1 และ 113

ดังนั้นตัวประกอบของ 113 ได้แก่ 1,113
จำนวนเฉพาะ

จำนวนเฉพาะ หมายถึง จำนวนนับที่มากกว่า 1 ซึ่งมีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 และตัวเอง

Exercise 2 เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะตัวประกอบของ 2 มีเพียง 2 ตัวคือ 1 และ 2

3 เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะตัวประกอบของ 3 มีเพียง 2 ตัว คือ 1 และ 3

7 เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะตัวประกอบของ 7 มีเพียง 2 ตัว คือ 1 และ 7

15 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะตัวประกอบของ 15 มีมากกว่า 2 คือ

1,3,5,15

...ข้อควรจำจ้า...

การหารด้วย 2 ลงตัว จำนวนนับที่มีหลักหน่วยเป็นเลข 0,2,4,6หรือ8 จะหารด้วย 2 ลงตัว

การหารด้วย 3 ลงตัว จำนวนนับใดจะหารด้วย 3ลง ตัว ก็ต่อเมื่อผลบวกของเลขโดดทุก

หลักของจำนวนนับนั้นหารด้วย 3 ลงตัว

เช่น 321 หารด้วย 3 ลงตัว เพราะ 3+2+1 = 6 หารด้วย 3 ลงตัว

1,353 หารด้วย 3 ลงตัว เพราะ 1+3+5+3 = 12 หารด้วย 3 ลงตัว

การหารด้วย 5 ลงตัว จำนวนนับที่มีหลักหน่วยเป็น 0 หรือ 5 จะหารด้วย 5 ลงตัว

...การแยกตัวประกอบ...

ตัวประกอบเฉพาะของจำนวนนับใดๆ หมายถึง ตัวประกอบของจำนวนนับ

นั้นที่เป็นจำนวนเฉพาะ เช่น จงหาตัวประกอบ และตัวประกอบเฉพาะของจำนวนนับต่อ

ไปนี้

Exercise ตัวประกอบของ 72 ได้แก่

Solution ตัวประกอบของ 72 ได้แก่ 1,2,3,4,6,8,12,18,24,36,72

ตัวประกอบเฉพาะของ 72 มีเพียง 2 ตัวคือ 2 และ 3

การแยกตัวประกอบของจำนวนนับใดๆ หมายถึง การเขียนจำนวนนับนั้นใน

รูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะ เช่น

จงแยกตัวประกอบของจำนวนนับในข้อต่อไปนี้

1) 21 = 3 x 7

2) 105 = 3 x 35 = 3 x 5 x 7

3) 1,001 = 7 x143 = 7 x 11 x 13


ที่มา http://www.thaigoodview.com/node/17661

การแปลงทางเรขาคณิต

การเลื่อนขนาน (Translation)

จุดประสงค์ในการเรียนเรื่อง เลื่อนขนาน

เข้าใจเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตในเรื่องการเลื่อนขนานและนำไปใช้ได้
บอกภาพที่เกิดขึ้นจากการเลื่อนขนานและสามารถอธิบายวิธีการที่จะได้ภาพที่ปรากฏ เมื่อกำหนดรูปแบบและภาพนั้นได้
อธิบายลักษณะของรูปที่เกิดขึ้นจากการเลื่อนขนานบนพิกัดฉากได้

ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับจากการเรียนเรื่อง เลื่อนขนาน
ทำให้นักเรียนเข้าใจรูปเหลี่ยมและรูปทรงเรขาคณิตมากขึ้น และนำความรู้ไปใช้หาพื้นที่และปริมาตรของรูปเหลี่ยมและรูปทรงต่างๆ
นักเรียนสามารถพัฒนาศักยภาพทางคณิตศาสตร์ด้วยตนเอง

การเลื่อนขนานต้องมีรูปต้นแบบ ทิศทางและระยะทางที่ต้องการเลื่อนรูป การเลื่อนขนานเป็นการแปลงที่จับคู่จุดแต่ละจุดของรูปที่ได้จากการเลื่อนรูปต้นแบบไปในทางทิศทางใดทิศทางหนึ่งด้วยระยะทางที่กำหนด จุดแต่ละจุดบนรูปที่ได้จากการเลื่อนขนานระยะห่างจากจุดที่สมนัยกันบนรูปต้นแบบเป็นระยะทางเท่ากัน การเลื่อนในลักษณะนี้เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า “สไลด์ (slide)”

การสะท้อน (Reflection)

จุดประสงค์ในการเรียนเรื่อง การสะท้อน
เข้าใจเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตในเรื่องการสะท้อนและนำไปใช้ได้
บอกรูปที่เกิดขึ้นจากการสะท้อนและสามารถอธิบายวิธีการที่จะได้ภาพที่ปรากฏ เมื่อกำหนดรูปแบบและภาพนั้นได้
อธิบายลักษณะของรูปที่เกิดขึ้นจากการสะท้อนบนระนาบพิกัดฉากได้


ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับจากการเรียนเรื่อง การสะท้อน
การสะท้อนต้องมีรูปต้นแบบที่ต้องการสะท้อนและเส้นสะท้อน (reflection line หรือ Mirror line) การสะท้อนรูปข้ามเส้นสะท้อนเสมือนกับการพลิกรูปข้ามเส้นสะท้อนหรือการดูเงา สะท้อนบนกระจกเงาที่วางบนเส้นสะท้อน การสะท้อนเป็นการแปลงที่มีการจับคู่กันระหว่างจุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบกับจุดแต่ละจุดบนรูปสะท้อน โดยที่
1. รูปที่เกิดจากการสะท้อนมีขนาดและรูปร่างเช่นเดิม หรือกล่าวว่ารูปที่เกิดจากการสะท้อนเท่ากันทุกประการกับรูปเดิม
2. เส้นสะท้อนจะแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบกับจุดแต่ละจุดบนรูปสะท้อนที่สมนัยกัน นั่นคือระยะระหว่างจุดต้นแบบและเส้นสะท้อนเท่ากับระยะระหว่างจุดสะท้อนและเส้นสะท้อน

การหมุน (Rotation)

จุดประสงค์ในการเรียนเรื่อง การหมุน
เข้าใจเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตในเรื่องการหมุนและนำไปใช้ได้
บอกภาพที่เกิดขึ้นจากการหมุนรูปต้นแบบได้และสามารถอธิบายวิธีการที่จะได้ภาพที่ปรากฏ เมื่อกำหนดรูปแบบและภาพนั้นได้
อธิบายลักษณะของรูปที่เกิดขึ้นจากการหมุนรูปต้นแบบบนระนาบพิกัดฉากได้


ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับจากการเรียนเรื่อง การหมุน
การหมุนจะต้องมีรูปต้นแบบ จุดหมุนและขนาดของมุมที่ต้องการในรูปนั้น การมุมเป็นการแปลงที่จับคู่จุดแต่ละจุดของรูปที่ได้จากการหมุน โดยที่จุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบเคลื่อนที่รอบจุดหมุนด้วยขนาดของมุมที่กำหนด จุดหมุนจะอยู่นอกรูปหรือบนรูปก็ได้ การหมุนจะหมุนตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกาก็ได้ โดยทั่วไปเมื่อไม่ระบุไว้การหมุนรูปจะเป็นการหมุนทวนเข็มนาฬิกา บางครั้งถ้าเป็นมุมที่เกิดจากการหมุนตามเข็มนาฬิกา ขนาดของมุมอาจใช้สัญลักษณ์ -x๐ หรือ ถ้าเป็นมุมที่เกิดจากการหมุนทวนเข็มนาฬิกา ขนาดของมุมอาจใช้สัญลักษณ์ x๐

การสะท้อนแบบเลื่อน (Glide Reflection)

จุดประสงค์ในการเรียนเรื่อง การสะท้อนแบบเลื่อน
เข้าใจเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตในเรื่องการสะท้อนแบบเลื่อนและนำไปใช้ ได้
บอกภาพที่เกิดขึ้นจากการสะท้อนแบบเลื่อนและสามารถอิบายวิธีการที่จะได้ภาพที่ปรากฏ เมื่อกำหนดรูปแบบและภาพนั้นได้
อธิบายลักษณะของรูปที่เกิดขึ้นจากการสะท้อนแบบเลื่อนบนระนาบพิกัดฉากได้


ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับจากการเรียนเรื่อง การสะท้อนแบบเลื่อน
การสะท้อนแบบเลื่อน เป็นการแปลงอีกชนิดหนึ่ง การสะท้อนแบบเลื่อน ประกอบด้วย การสะท้อนและการเลื่อนที่เกิดขึ้นเป็นลำดับ โดยเกิดจากการสะท้อนก่อนแล้วตามด้วยการเลื่อนขนาน
(สิ่งสำคัญในการสะท้อนแบบเลื่อน คือ แกนสะท้อน ระยะทางและทิศทางในการเลื่อน)


ที่มา http://www.thaigoodview.com/node/26409?page=0%2C0

การหาตำแหน่งที่ของข้อมูล ( เปอร์เซ็นไทล์ )

การหาตำแหน่งหรือลำดับที่ของข้อมูลในแต่ละชุด เช่น นาย A สอบได้ที่ 10 เราไม่สามารถบอกได้ว่าผลการสอบของนาย A เป็นอย่างไรของกลุ่ม ถ้าในกลุ่มของนาย A มีนักเรียน 45 คน ก็สรุปว่านาย A เป็นคนเก่งในกลุ่ม ถ้าในกลุ่มมีเพียง 10 คน ก็สรุปว่านาย A เป็นคนที่เรียนไม่เก่ง และสอบได้ที่สุดท้าย เพื่อช่วยให้การกล่าวถึงตำแหน่งเป็นไปโดยมีความหมาย คือ สามารถบอกได้ทันที่ว่าตำแหน่งนั้นดีไม่ดีเพียงไรในกลุ่ม จึงได้มีการหาวิธีการบอกตำแหน่งโดย บอกตำแหน่งด้วย ควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์
เปอร์เซ็นไทล์ เป็นค่าที่แบ่งข้อมูลออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆกัน เมื่อข้อมูลถูกเรียงจากน้อยไปหามาก เนื่องจากค่าที่แบ่งจำนวนข้อมูลออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆกัน มีอยู่ 99 ค่า ดังนั้นเราจึงตั้งชื่อแต่ละค่าว่า
เปอร์เซ็นไทล์ที่หนึ่ง ใช้สัญลักษณ์ P1 คือค่าที่มีจำนวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ 1 ใน100 ของข้อมูลทั้งหมด
เปอร์เซ็นไทล์ที่สอง ใช้สัญลักษณ์ P2 คือค่าที่มีจำนวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ 2 ใน100 ของข้อมูลทั้งหมด
จะมีลักษณะเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนถึงเปอร์เซ็นไทล์ที่เก้าสิบเก้า ใช้สัญลักษณ์ P99
การหาเปอร์เซ็นไทล์ ก็เช่นเดียวกับการหาควอร์ไทล์และเดไซล์ คือต้องหาตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ก่อน ให้ N เป็นจำนวนข้อมูลหรือความถี่ทั้งหมด

1.กรณีที่ข้อมูลยังไม่แจกแจงความถี่
ตำแหน่งของ P1 คือตำแหน่งที่ ( N + 1)( 1/100 )
ตำแหน่งของ P2 คือตำแหน่งที่ ( N + 1)( 2/100 )
จะมีลักษณะเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนถึงตำแหน่งของ P99 คือตำแหน่งที่ ( N + 1)( 99/100 )
โดยทั่วไป ตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ที่ r คือ
ตำแหน่งของ Pr คือตำแหน่งที่ ( N + 1 )( r/100 )

2.กรณีที่ข้อมูลแจกแจงความถี่
ตำแหน่งของ P1 คือตำแหน่งที่ N( 1/100 )
ตำแหน่งของ P2 คือตำแหน่งที่ N( 2/100 )
จะมีลักษณะเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนถึงตำแหน่งของ P99 คือตำแหน่งที่ N( 99/100 )
โดยทั่วไป ตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ที่ r คือ
ตำแหน่งของ Pr คือตำแหน่งที่ ( Nr/100 )

หมายเหตุ การหาเปอร์เซ็นไทล์ เราจะใช้ในกรณีที่มีข้อมูลดังกล่าวมีจำนวนมากๆ เพราะว่าเปอร์เซ็นไทล์เป็นค่าที่แบ่งจำนวนข้อมูลออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆกัน ดังนั้นในกรณีที่ข้อมูลมีจำนวนน้อยไม่เหมาะที่จะหา
เปอร์เซ็นไทล์ควรจะไปใช้ควอร์ไทล์ หรือ เดไซล์จะดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1 ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 44 คน ได้คะแนนเรียงตามลำดับดังนี้ 11, 12, 13, 18, 19, 24, 27, 28, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35, 35, 36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 41, 41, 42, 43, 44, 45, 45, 46, 47, 50, 54, 54, 55, 55, 56, 46, 56, 58, 58, 59, 60 จงหาเปอร์เซ็นไทล์ที่ 75
วิธีทำ

Pr อยู่ในตำแหน่งที่ คือ ( N + 1 )( r /100 )

P75 อยู่ในตำแหน่งที่ คือ (44 + 1)( 75/100 ) = 33.5

ตำแหน่งที่ 33 ของข้อมูลข้างต้น คือ 50
ตำแหน่งที่ 34 ของข้อมูลข้างต้น คือ 54
ตำแหน่งต่างกัน 1 ค่าของเปอร์เซ็นไทล์ต่างกัน 4
ตำแหน่งต่างกัน 0.75 ค่าเปอร์เซ็นไทล์ต่างกัน 4 x 0.75 = 3

ดังนั้น ค่าเปอร์เซ็นไทล์ ที่ 75 เท่ากับ 53


ตัวอย่างที่ 2 กำหนดข้อมูล 30, 42, 25, 34, 28, 36, 33, 44, 18 จงหาว่าข้อมูลที่มีค่า 30 อยู่ในตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใด
วิธีทำ เรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก ได้ 18 , 25 , 28 , 30 , 33 , 34 , 36 , 42 , 44 ให้ข้อมูลที่มีค่า 30 อยู่ในตำแหน่ง ที่ r ดังนั้น 30 เท่ากับ Pr ข้อมูลที่มีค่า 30 อยู่ในตำแหน่งที่ 4

แต่ตำแหน่ง Pr = ( 9 + 1 )( r/100 ) ได้ 10r/100 = 4
ดังนั้น r = 40

ดังนั้น ข้อมูลที่มีค่า 30 อยู่ในตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 40 หรือ P40

สรุป ขั้นตอนการหาค่าเปอร์เซ็นไทล์ของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น
1. เรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก
2. หาตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ โดย ตำแหน่ง Pr คือ ( N + 1 )( r/100 )

ใช้ตำแหน่ง Pr เทียบบัญญัติไตรยางค์หาข้อมูลที่ตรงกับตำแหน่ง Pr นั้น

การให้เหตุผล

การให้เหตุผลแบ่งได้ 2 แบบดังนี้
1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย
2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย


1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย

การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นการให้เหตุผลโดยอาศัยข้อสังเกตหรือผลการทดลองจากหลาย ๆ ตัวอย่าง มาสรุปเป็นข้อตกลง หรือข้อคาดเดาทั่วไป หรือคำพยากรณ์ ซึ่งจะเห็นว่าการจะนำเอาข้อสังเกต หรือผลการทดลองจากบางหน่วยมาสนับสนุนให้ได้ข้อตกลง หรือ ข้อความทั่วไปซึ่งกินความถึงทุกหน่วย ย่อมไม่สมเหตุสมผล เพราะเป็นการอนุมานเกินสิ่งที่กำหนดให้ ซึ่งหมายความว่า การให้เหตุผลแบบอุปนัยจะต้องมีกฎของความสมเหตุสมผลเฉพาะของตนเอง นั่นคือ จะต้องมีข้อสังเกต หรือผลการทดลอง หรือ มีประสบการณ์ที่มากมายพอที่จะปักใจเชื่อได้ แต่ก็ยังไม่สามารถแน่ใจในผลสรุปได้เต็มที่ เหมือนกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าการให้เหตุผลแบบนิรนัยจะให้ความแน่นอน แต่การให้เหตุผลแบบอุปนัย จะให้ความน่าจะเป็น

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย เช่น เราเคยเห็นว่ามีปลาจำนวนมากที่ออกลูกเป็นไข่เราจึงอนุมานว่า "ปลาทุกชนิดออกลูกเป็นไข่" ซึ่งกรณีนี้ถือว่าไม่สมเหตุสมผล ทั้งนี้เพราะ ข้อสังเกต หรือ ตัวอย่างที่พบยังไม่มากพอที่จะสรุป เพราะโดยข้อเท็จจริงแล้วมีปลาบางชนิดที่ออกลูกเป็นตัว เช่น ปลาหางนกยูง เป็นต้น

โดยทั่วไปการให้เหตุผลแบบอุปนัยนี้ มักนิยมใช้ในการศึกษาค้นคว้าคุณสมบัติต่าง ๆ ทางด้านวิทยาศาสตร์ เช่น ข้อสรุปที่ว่า สารสกัดจากสะเดาสามารถใช้เป็นยากำจัดศัตรูพืชได้ ซึ่งข้อสรุปดังกล่าวมาจากการทำการทดลอง ซ้ำ ๆ กันหลาย ๆ ครั้ง แล้วได้ผลการทดลองที่ตรงกันหรือในทางคณิตศาสตร์จะใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย ในการสร้างสัจพจน์ เช่น เมื่อเราทดลองลากเส้นตรงสองเส้นให้ตัดกัน เราก็พบว่าเส้นตรงสองเส้นจะตัดกันเพียงจุด ๆ เดียวเท่านั้น ไม่ว่าจะทดลองลากกี่ครั้งก็ตาม เราก็อนุมานว่า "เส้นตรงสองเส้นตัดกันเพียงจุด ๆ เดียวเท่านั้น"

ตัวอย่าง 1.

เมื่อเรามองไปที่ห่านกลุ่มหนึ่งพบว่า
ห่านตัวนี้สีขาว
ห่านตัวนั้นก็สีขาว
ห่านตัวโน้นก็สีขาว
ห่านนั้นก็สีขาว
ดังนั้น ห่านทุกตัวคงจะต้องมีสีขาว

ตัวอย่าง 2

ในการบวกเลข 2 จำนวน เราพบว่า
1+2 = 2+1
2+3 = 3+2
…………
…………
เราอาจสรุปได้ว่าทุกๆจำนวน a และ b จะได้ว่า a + b = b + a

ตัวอย่าง 3

จากการสร้างรูปสามเหลี่ยมในระนาบ พบว่า
เส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยมรูป A พบกันที่จุดๆหนึ่ง
เส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยมรูป B พบกันที่จุดๆหนึ่ง
เส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยมรูป C พบกันที่จุดๆหนึ่ง
ดังนั้น เส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยมใดๆ พบกันที่จุดๆหนึ่งเสมอ


ข้อสังเกต

1.ข้อสรุปของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจจะไม่จริงเสมอไป

2. การสรุปผลของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจขึ้นอยู่กับประสบการณ์ของผู้สรุป

3. ข้อสรุปที่ได้จากการให้เหตุผลแบบอุปนัยไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน

ตัวอย่าง กำหนด จำนวน 2, 4, 6 , a จงหา จำนวน a จะได้ a = 8
กำหนด จำนวน 2, 4, 6 , a จงหา จำนวน a
จะได้ a = 10 เพราะว่า 4 + 6 = 10
กำหนด จำนวน 2, 4, 6 , a จงหา จำนวน a จะได้ a = 22
เพราะว่า 6 = (2 x 4)-2 และ 22 = (4 x 6)-2

4. ข้อสรุปของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจ ผิดพลาดได้

ตัวอย่าง ให้ F(n) = n2 - 79n + 1601

ทดลองแทนค่าจำนวนนับ n ใน F(n)
n = 1 ได้ F(1) = 1523 เป็นจำนวนเฉพาะ
n = 2 ได้ F(2) = 1447 เป็นจำนวนเฉพาะ
n = 3 ได้ F(3) = 1373 เป็นจำนวนเฉพาะ

F(n) = n2 - 79n + 1601

แทนค่า n ไปเรื่อยๆ จนกระทั่งแทน n = 79 ได้ F(79) เป็นจำนวนเฉพาะ

จากการทดลองดังกล่าว อาจสรุปได้ว่า n2 - 79n + 1601 เป็นจำนวนเฉพาะ สำหรับทุกจำนวนนับ แต่...
F(n) = n2 - 79n + 1601
F(80) = 802 - (79)(80) + 1601
= 1681
= (41)(41)

F(80) ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย

เป็นการนำความรู้พื้นฐานที่อาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฏ หรือบทนิยาม ซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อนและยอมรับว่าเป็นจริง เพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป



ตัวอย่าง 1

มนุษย์ทุกคนเป็นสิ่งมีชีวิต และ นายแดงเป็นมนุษย์คนหนึ่ง
เพราะฉะนั้น นายแดงจะต้องเป็นสิ่งมีชีวิต


ตัวอย่าง 2

ปลาโลมาทุกตัวเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม และสัตว์เลี้ยงลูกด้วย
นม ทุกตัวมีปอด
ดังนั้น ปลาโลมาทุกตัวมีปอด

ตัวอย่าง 3

แมงมุมทุกตัวมี 6 ขา และสัตว์ที่มี 6 ขา ทุกตัวมีปีก
ดังนั้น แมงมุมทุกตัวมีปีก


ตัวอย่าง 4

ถ้านายดำถูกล๊อตเตอรี่รางวัลที่หนึ่ง นายดำจะมีเงินมากมาย
แต่นายดำไม่ถูกล๊อตเตอรี่รางวัลที่หนึ่ง
ดังนั้น นายดำมีเงินไม่มาก

ถ้าผลสรุปตามมาจากเหตุที่กำหนดให้ เรียกว่า ผลสรุปสมเหตุสมผล แต่ถ้าผลสรุปไม่ได้มาจากเหตุที่กำหนดให้ เรียกว่า ผลสรุปไม่สมเหตุสมผล

ตัวอย่างผลสรุปสมเหตุสมผล

เหตุ ปลาวาฬทุกตัวเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม
และสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมทุกตัวมีปอด
ผล ดังนั้นปลาวาฬทุกตัวมีปอด

ข้อสังเกต เหตุเป็นจริง และ ผลเป็นจริง

เหตุ แมงมุมทุกตัวมี 6 ขา
และสัตว์ที่มี 6 ขา ทุกตัวมีปีก
ผล ดังนั้นแมงมุมทุกตัวมีปีก

ข้อสังเกต เหตุเป็นเท็จ และ ผลเป็นเท็จ

เหตุ ถ้านายดำถูกล๊อตเตอรี่รางวัลที่หนึ่ง
นายดำจะมีเงินมากมาย
แต่นายดำไม่ถูกล๊อตเตอรี่รางวัลที่หนึ่ง
ผล ดังนั้นนายดำมีเงินไม่มาก

ข้อสังเกต เหตุอาจเป็นจริงและผลอาจเป็นเท็จ

ข้อสังเกต ผลสรุปสมเหตุสมผลไม่ได้ประกันว่าข้อสรุปจะต้องเป็นจริงเสมอไป

วิธีการตรวจสอบว่าผลสรุปสมเหตุสมผลใช้แผนภาพของ เวนน์ - ออยเลอร์

โดยวาดแผนภาพตามเหตุทุกกรณีที่เป็นไปได้แล้วพิจารณาว่าแผนภาพแต่ละกรณีแสดงผลสรุปตามที่กำหนดให้หรือไม่ ถ้าทุกแผนภาพแสดงผลสรุปตามที่กำหนดกล่าวว่า “ผลสรุปสมเหตุสมผล” แต่ถ้ามีบางแผนภาพไม่แสดงผลสรุปตามที่กำหนดให้จะกล่าวว่า “ผลสรุปไม่สมเหตุสมผล”


ตัวอย่างของข้อความและแผนภาพที่แสดงความหมายของข้อความที่ใช้ในการอ้างเหตุผลทั้งสี่แบบ ที่ใช้ในการอ้างเหตุผลส่วนใหญ่ ได้แก่

ตัวอย่าง 1 สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B

ข้อความ สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมเป็นสัตว์เลือดอุ่น
จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้

ตัวอย่าง 2 ไม่มีสมาชิกตัวใดของ A เป็นสมาชิกของ B

ข้อความ ไม่มีไก่ตัวใดมีนม
จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้

ตัวอย่าง 3 มีสมาชิกบางตัวของ A เป็นสมาชิกของ B

ข้อความ รถโดยสารบางคันเป็นรถปรับอากาศ
จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้

ตัวอย่าง 4 มีสมาชิกบางตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B

ข้อความ รถโดยสารบางคันไม่ได้เป็นรถปรับอากาศ
จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้

ที่มา http://www.thaigoodview.com/node/18026

เรขาคณิตสองมิติและสามมิติ

เรขาคณิตสองมิติและสามมิติ

ในการดำรงชีวิตของมนุษย์ตั้งแต่ในอดีตจนถึงปัจจุบัน มีการนำความสัมพันธ์ของรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติมาใช้ เช่น การนำใบตองมาห่อหรือพับเป็นกระทงเพื่อใส่ขนม การใช้ผ้าห่อของหรือสัมภาระต่าง ๆ การนำกระดาษมาห่อของขวัญ ในเทศกาลต่าง ๆ เป็นต้น นักเรียนบางคนอาจจะเคยส่งของให้เพื่อนทางไปรษณีย์ จะสังเกตได้ว่ากล่องบรรจุพัสดุที่ได้รับจากเจ้าหน้าที่มานั้น ต้องพับให้เป็นรูปกล่องเสียก่อนจึงจะใส่ของลงไปได้ สิ่งต่าง ๆ เหล่านี้ล้วนเป็นความสัมพันธ์ของรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติทั้งสิ้น

รูปเรขาคณิตสองมิติ

1. รูปสามเหลี่ยม เช่น

2. รูปสี่เหลี่ยม เช่น

3. รูปหลายเหลี่ยม เช่น

4. รูปอื่น ๆ

รูปเรขาคณิตสองมิติ

1. ปริซึม เช่น

2. พีระมิด เช่น

ที่มา http://www.thaigoodview.com/node/17230