ระบบจำนวนจริง ( Real Number )

1.      ลักษณะของจำนวนจริง

ในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ไม่ว่าจะเป็นแขนงใด  จะมีสิ่ง ๆ หนึ่งเข้ามา

เกี่ยวข้องด้วยเสมอ  สิ่งนั้นก็คือ  จำนวน  ดังนั้นสิ่งที่เราควรเข้าใจ  และทำการศึกษาก่อนก็คือ  ความเข้าใจเกี่ยวกับจำนวนซึ่งอยู่ในรูปลักษณะต่าง ๆ กัน  ดังนั้นจึงมีการนำจำนวนต่าง ๆ เหล่านี้มาจัดเป็นกลุ่ม  เป็นพวก  ซึ่งเราเรียกว่าเซต  และจำนวนใดจะอยู่ในเซตเดียวกัน  หรือคนละเซตกันก็ขึ้นอยู่กับลักษณะหรือคุณสมบัติที่เหมือน  หรือแตกต่างกันของจำนวนเหล่านี้  ในทางคณิตศาสตร์เรามีเซตของจำนวนต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเซตของจำนวนจริงดังนี้

จำนวนเต็ม

เซตของจำนวนเต็ม

เซตของจำนวนเต็ม  คือ  เซตที่เกิดจากการยูเนียนกันของเซต

ของจำนวนเต็มบวก  เซตของจำนวนเต็มลบ  และเซตของศูนย์นั่นคือ

                                    I = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } 

1.      เซตของจำนวนเต็มบวก  หรือเซตของจำนวนนับ

เราคงคุ้นเคยกับสัญลักษณ์ 1, 2, 3, … ซึ่งเราเรียกจำนวนนับ

หรือจำนวนธรรมชาติ ( natural  number ) หรือจำนวนเต็มบวก ( positive  integers )  จำนวนนี้เป็นจำนวนชุดแรกที่มนุษย์รู้จัก

เซตของจำนวนเต็มบวก  หรือเซตของจำนวนนับ  คือ  เซตที่

ประกอบด้วยสมาชิก 1, 2, 3, 4, … และเรานิยมใช้สัญลักษณ์  N  หรือ  I⁺  แทนเซต -

ดังกล่าวนั่นคือ

                                    N = I⁺ = { 1, 2, 3, 4, 5,  … }

                                   

2.  เซตของจำนวนเต็มลบ

เซตของจำนวนเต็มลบ  คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิก

–1, -2, -3, … และเรานิยมใช้สัญลักษณ์  I ^- แทน  เซตดังกล่าว  นั่นคือ

I ^- = { -1, -2, -3, -4, -5, … }

3.      เซตของศูนย์

เซตของศูนย์  คือ  เซตที่มี 0 เป็นสมาชิกเพียงตัวเดียว  ดังนั้น

เซตดังกล่าว  คือ  { 0 }

                                   

                                    จากลักษณะของเซตทั้ง  3  ดังกล่าวจะพบว่าเซตของจำนวนเต็มบวก  เซตของจำนวนเต็มลบ  และเซตของศูนย์  จะไม่มีสมาชิกที่ซ้ำกันเลยกล่าวคือถ้านำเซตทั้ง  3  มา  อินเตอร์เซกชันกัน  จะได้เป็นเซตว่าง  แต่ถ้านำเซตทั้ง  3  มายูเนียนกันก็จะเกิดเป็นเซตใหม่ขึ้นมานั่นก็คือเซตของจำนวนเต็มนั่นเอง

เศษส่วน

    เซตของเศษส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

เซตของเศษส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม  คือเซตที่มีสมาชิกเป็น

เศษส่วนโดยมีเงื่อนไขว่า  เศษต้องเป็นจำนวนเต็ม  ส่วนต้องเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับศูนย์  และไม่สามารถตัดทอนให้เหลือส่วนเป็น  1  ได้ ( ไม่สามารถเขียนเป็นจำนวนเต็มได้ )  ซึ่งตัวอย่างของสมาชิกในเซตนี้  

                                 ในทำนองเดียวกัน  เราจะพบว่าเซตของจำนวนเต็ม  กับ  เซตของเศษส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม  จะไม่มีสมาชิกซ้ำกันเลย  กล่าวคือ  ถ้านำเซตทั้งสองมาอินเตอร์เซกชันกัน  ก็จะได้เซตว่างแต่ถ้านำมายูเนียนกัน  ก็จะได้เซตใหม่ขึ้นอีกเซตหนึ่งเราเรียกเซตนั้นว่า  เซตของจำนวนตรรกยะ ( rational  number ) และนิยมใช้  Q  เป็นสัญลักษณ์แทนเซต

จำนวนตรรกยะ

     เซตของจำนวนตรรกยะ

เซตของจำนวนตรรกยะ  คือเซตที่เกิดจากการยูเนียนของเซตของ

จำนวนเต็มกับเซตของเศษส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม  นั่นคือ

                                    Q = {   I a e I, b e I และ b ¹ 0 }

                                    สมาชิกของเซตของจำนวนตรรกยะนั้น  ต้องเป็นเศษส่วน  และส่วนต้องไม่เท่ากับศูนย์และข้อสำคัญที่สุดคือ  ตัวเศษและส่วนนั้นต่างก็เป็นจำนวนเต็มทั้งสิ้น

ตัวอย่างที่ 1   1.  เป็นจำนวนตรรกยะ  เพราะว่า  4 e I, 5 e I และ 5 ¹ 0

                           

                           1 ¹ 0 ( แสดงว่าจำนวนเต็มทุกจำนวนต้องเป็นจำนวนตรรกยะ

                            เพราะจำนวนเต็มทุกจำนวนจะต้องมีส่วนเป็น  1  เสมอ )

                    

ตัวอย่างที่ 2   1.  2.5  เป็นจำนวนตรรกยะ  เพราะว่า  2.5 = 

2.      0.79  เป็นจำนวนตรรกยะ  เพราะว่า  0.79 =  

3.      0.121212 … เป็นจำนวนตรรกยะ  เพราะว่า  0.121212 … = 0.1^.2^. 

จากตัวอย่างที่ 2  จะพบว่า  ทศนิยมรู้จบ  และ  ทศนิยมไม่รู้จบชนิดซ้ำ

กัน  ต่างก็สามารถเขียนอยู่ในรูป     โดยที่  a e I, b e I  และ b ¹ 0  ได้  ดังนั้น

ทศนิยมรู้จบ  และทศนิยมไม่รู้จบชนิดซ้ำกัน  ต่างก็เป็นจำนวนตรรกยะ  แต่จะมีทศนิยมอีกประเภทหนึ่ง  ซึ่งไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้  ทศนิยมดังกล่าวนั้น  คือ  ทศนิยมไม่รู้ชนิดไม่ซ้ำกัน  เช่น  1.41421 …, 1.73205 …, 3.14286… ซึ่งแต่ละจำนวนดังกล่าว  เราไม่สามารถเขียนให้สิ้นสุดลงได้  เพราะถ้าเขียนสิ้นสุดลงเมื่อใด  ค่าที่ได้จะเป็นทศนิยมรู้จบ  ซึ่งจะเป็นจำนวนตรรกยะทันที  ดังนั้น  นักคณิตศาสตร์จึงคิดสัญลักษณ์บางอย่างขึ้นมาแทนทศนิยมไม่รู้จบชนิดไม่ซ้ำกันเหล่านี้  เรียกจำนวนเหล่านี้ว่า  จำนวนตรรกยะ        

จำนวนอตรรกยะ

    เซตของจำนวนอตรรกยะ

          ในการศึกษาของปีทาโกรัสและคณะพบว่า “ ถ้าด้านประกอบมุม

ฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากยาว 1 หน่วยแล้ว  ไม่สามารถหาคำตอบที่เป็นจำนวน

ตรรกยะที่เป็นบวกของด้านตรงข้ามมุมฉากได้  นั่นคือ

                                    X ²= 1 + 1

                                    X² = 2

เซตของจำนวนอตรรกยะ  คือเซตที่มีสมาชิกเป็นทศนิยมไม่รู้จบ

ชนิดไม่ซ้ำกัน  ซึ่งสมาชิกเหล่านี้ได้แก่     เป็นต้น

                                    ในทำนองเดียวกันเราจะพบว่าเซตของจำนวนตรรกยะ  กับเซตของจำนวนอตรรกยะ  จะไม่มีสมาชิกซ้ำกันเลย  กล่าวคือ  ถ้านำเซตทั้งสองมา –

อินเตอร์เซกชันกันจะได้เป็นเซตว่าง  แต่ถ้านำมายูเนียนกันจะได้เซตใหม่ขึ้นมาอีกเซตหนึ่ง  เราเรียกเซตนั้นว่า  เซตของจำนวนจริง  และนิยมใช้  R  เป็นสัญลักษณ์แทนเซตดังกล่าว

จำนวนจริง

      เซตของจำนวนจริง

เซตของจำนวนจริง  คือเซตที่เกิดจากการยูเนียนกันของเซตของ

จำนวนตรรกยะกับเซตของจำนวนอตรรกยะ

ข้อควรสนใจ    1.  มีจำนวนอีกประเภทหนึ่งที่ไม่ใช่จำนวนจริง  จำนวนเหล่านั้นได้แก่                         …เป็นต้น  ( รากที่สองของจำนวนลบ )

                              จำนวนเหล่านี้เราเรียกว่าจำนวนจินตภาพ  ซึ่งเป็นจำนวนที่เราไม่

                              สามารถเปรียบเทียบความมากน้อยได้ 

2. ในเซตของจำนวนจริง  เราจะไม่มีการเขียนเศษส่วนที่ตัวส่วนเป็น

     ศูนย์โดยเด็ดขาด  เพราะลักษณะดังกล่าวไม่มีความหมาย  หรือ  

                                           

2. การเท่ากันของจำนวนจริง

หลักการเท่ากันของจำนวนจริง  เป็นการแสดงให้เห็นว่าลักษณะของ

จำนวนจริงที่จะเท่ากันได้นั้น  มีลักษณะอย่างไร  และเราเรียกลักษณะต่าง ๆ เหล่านั้นว่า  คุณสมบัติ  และคุณสมบัติเหล่านี้เป็นจริงเสมอ  และนอกจากนี้ยังสามารถนำไปใช้อ้างอิงในการพิสูจน์เกี่ยวกับการเท่ากันของจำนวนอื่น ๆ ได้อีก

1.      คุณสมบัติสะท้อน  ( Reflexive  Property )

ถ้า  a  เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว  a = a

                              คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  จำนวนจริงใดก็ตาม  ต้องมีค่าเท่ากับจำนวนจริงนั้นเสมอ

                        2.  คุณสมบัติการสมมาตร  ( Symmetric  Property )

                             ให้  a  และ  b  เป็นจำนวนจริงใด ๆ

                             ถ้า  a = b  แล้ว  b = a

                             คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ถ้ามีจำนวนจริง  2  จำนวนเท่ากัน  จจะเขียนจำนวนใดไว้ทางซ้ายมือของเครื่องหมายเท่ากับ  หรือเขียนไว้ทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับก็ได้  ความหมายยังคงเหมือนเดิม

ตัวอย่างที่ 3    1.  X + 2 = 5 จะมีความหมายเหมือนกับ  5 = X + 2

                         2.  X = 36  จะมีความหมายเหมือนกับ  X = 36

                        3.  คุณสมบัติการถ่ายทอด  ( Transitive  Property )

                             ให้  a, b  และ  c  เป็นจำนวนจริงใด ๆ

                              ถ้า  a = b  และ  b = c  แล้ว  a = c

                              คุณสมบัติข้อนี้  แสดงให้เห็นถึงการเชื่อมโยง  หรือความต่อเนื่องจากการเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 4    ถ้าเรามี  a = 2

                          และรู้ว่า  2 = b

                          จากคุณสมบัติการถ่ายทอด  เราสามารถสรุปได้ว่า  a = b

                        4.  คุณสมบัติการบวกด้วยจำนวนเท่ากัน

                              ให้  a, b  และ  c  เป็นจำนวนจริงใด ๆ

                              ถ้า  a = b  แล้ว  a + c = b + c

                              คุณสมบัติข้อนี้แสดงให้เห็นว่า  ถ้ามีจำนวนจริงใด ๆ สองจำนวนเท่ากันเราเพิ่มเข้าไปอีกจำนวนละเท่า ๆ กัน  ผลที่ได้ยังคงเท่ากันเสมอ

ตัวอย่างที่ 5     ให้  x = 7  และ  b, c  เป็นจำนวนจริง

                          จะได้  x + b = 7 + b

                                     x + c = 7 + c

                         5.  คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากัน 

                              ให้  a, b  และ  c  เป็นจำนวนจริงใด ๆ

                              ถ้า  a = b  แล้ว ac = bc

                        คุณสมบัติข้อนี้ก็เช่นเดียวกับคุณสมบัติข้อ 4  แต่เปลี่ยนจากการบวกเป็นการคูณ  นั่นคือ  ถ้ามีจำนวนจริงใด ๆ สองจำนวนเท่ากันเราคูณเข้าไปด้วยจำนวนที่เท่ากันผลที่ได้ยังคงเท่ากันเสมอ

3.  คุณสมบัติของจำนวนจริงข้อ 1 - 11

                        ในระบบจำนวนจริง  จะมีคุณสมบัติสำคัญอยู่ 15 ข้อ  ซึ่งเราจะต้องทำความเข้าใจและศึกษาเป็นอย่างดี  คุณสมบัติเหล่านี้จะเป็นจริงเสมอ  ไม่ว่าจำนวนจริงนั้นจะมีลักษณะใดก็ตาม  สำหรับในหัวข้อนี้จะกล่าถึงคุณสมบัติของจำนวนจริง  11  ข้อแรกเสียก่อน

                        ให้  R  เป็นเซตของจำนวนจริง  โดยที่มี  a, b  และ  c  เป็นสมาชิกในเซตนี้  ( แสดงว่า  a, b  และ c  เป็นจำนวนจริง )  คุณสมบัติเหล่านี้จะเป็นจริงสำหรับระบบจำนวนจริงเสมอ

1.      คุณสมบัติปิดของการบวก

ถ้า  a e R  และ  b e R  แล้ว  a + b e R

                             คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ถ้าเรานำสมาชิกที่อยู่ใน  R  มาบวกกันแล้วผลที่ได้จะยังคงเป็นสมาชิกที่อยู่ใน  R  เสมอ  ( จำนวนจริงคูณกับจำนวนจริง  ผลที่ได้ยังคงเป็นจำนวนจริงเสมอ )

2.      คุณสมบัติปิดของการคูณ

ถ้า  a e R และ  b e R  แล้ว  ab e R

คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ถ้าเรานำสมาชิกที่อยู่ใน  R  มาคูณกันแล้ว

ผลที่ได้จะยังคงเป็นสมาชิกที่อยู่ใน  R  เสมอ  ( จำนวนจริงคูณกับจำนวนจริง  ผลที่ไดัยังคงเป็นจำนวนจริงเสมอ )

3.      คุณสมบัติการสลับที่ของการบวก

ถ้า  a e R  และ  b e R  แล้ว  a + b = b + a

คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ในการนำสมาชิก  R  มาบวกกันนั้น  เราจะ

นำสมาชิกตัวใดเป็นตัวตั้ง  หรือเป็นตัวบวกก็ได้  ผลที่ได้ย่อมเท่ากันเสมอ

4.      คุณสมบัติการสลับที่ของการคูณ

ถ้า  a e R  และ  b e R  แล้ว  ab = ba

คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ในการนำสมาชิกใน  R  มาคูณกันนั้น  เรา

นำสมาชิกตัวใดเป็นตัวตั้งหรือเป็นตัวคูณก็ได้  ผลที่ได้ย่อมเท่ากันเสมอ

5.      คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก

ถ้า  a, b  และ  c  ต่างเป็นสมาชิกใน  R  แล้ว

                              ( a + b ) + c = a ( b + c )

                             คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  การที่มีจำนวนจริงหลาย ๆ จำนวนมาบวกกันนั้นเราจะนำจำนวนจริงข้อใดบวกกันก่อนก็ได้  แล้วจึงไปบวกกับจำนวนที่เหลือทีหลัง

ซึ่งผลที่ได้ย่อมเท่ากันเสมอ

6.      คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ

ถ้า  a, b  และ  c  ต่างเป็นสมาชิกใน  R  แล้ว  (ab)c = a(bc)

คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  การที่มีจำนวนจริงหลาย ๆ จำนวนคูณกัน

นั้นเราจะนำจำนวนจริงคู่ใดคูณกันก่อนก็ได้  แล้วจึงนำไปคูณกับจำนวนที่เหลือทีหลัง  ซึ่งผลที่ได้ย่อมเท่ากันเสมอ

7.      คุณสมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก

ในเซตจำนวนจริง  R  จะมี  0  e  R  ซึ่ง

0 + a = a + 0 = a  สำหรับทุก ๆ ค่าของ  a  ใน  R  เราเรียก  0 ว่า

เอกลักษณ์การบวก

      คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ในเซตของจำนวนจริงนี้จะมีจำนวนจริง

พิเศษอยู่ตัวหนึ่ง  คือ  0  ซึ่ง  0  นั้นเมื่อนำไปบวกกับจำนวนจริงใด  ผลที่ได้จะเป็นจำนวนจริงนั้นเสมอ  และต้องมีคุณสมบัติการสลับที่ด้วย  เราจึงตั้งชื่อ  0  ว่าเอกลักษณ์การบวก

8.      คุณสมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ

ในเซตของจำนวนจริง  R  จะมี  1 e R ซึ่ง

1 x a= a x 1 = a  สำหรับทุก ๆ ค่าของ a  ใน  R  เราเรียก  1  ว่า

เอกลักษณ์การคูณ

      คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ในเซตของจำนวนจริงนั้น  จะมีจำนวน

จริงพิเศษอยู่ตัวหนึ่ง  คือ  1  ซึ่ง  1  นั้นเมื่อนำไปคูณกับจำนวนจริงใด  ผลที่ได้จะเป็นจำนวนจริงตัวนั้นเสมอ  และต้องมีคุณสมบัติการสลับที่ด้วย  เราจึงตั้งชื่อ  1  ว่า  เอกลักษณ์การคูณ

9.      คุณสมบัติการมีอินเวอร์สการบวก

ถ้า  a e R จะมี  -a e R  ซึ่ง

a + (-a) = (-a) + a = 0

เรียก  -a  ว่า  อินเวอร์สการบวกของ  a

คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ถ้าเราหยิบสมาชิกใน  R  ขึ้นมา  1  ตัว

จะเป็นตัวใดก็ได้สมมติให้เป็น  a  ก็จะมี  -a  ใน  R  เหมือนกัน  และสมาชิกทั้งสองจำนวนนี้  เมื่อนำมาบวกกัน  ผลที่ได้จะเป็นเอกลักษณ์การบวก  ( คือ 0 )  และการบวกกันนั้นต้องสลับที่ได้ด้วย

        

      

       10.  คุณสมบัติการมีอินเวอร์สการคูณ

ถ้า  a e R  และ  a ¹ 0  จะมี  a^-1 e R  ซึ่ง

aa^-1  =  a^-1a  =  1

เรียก  a^-1   ว่าอินเวอร์สการคูณของ  a

คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ถ้าเราหยิบสมาชิกใน  R  ขึ้นมา  1  ตัว

ซึ่งไม่ใช่  0  ก็จะมีสมาชิกใน  R  อยู่  1  ตัวซึ่งเมื่อนำมาคูณกับสมาชิกใน  R  ที่หยิบขึ้นมา  ผลที่ได้จะเป็นเอกลักษณ์การคูณ  คือ  1  และการคูณกันนั้นสามารถสลับที่ได้ด้วย

                    11.  คุณสมบัติการแจกแจง

ถ้า  a, b  และ  c  เป็นสมาชิกใน  R  แล้ว

a ( b + c ) = ab + ac

คุณสมบัติข้อนี้  เป็นการแสดงให้เห็นว่าในการนำจำนวนสองจำนวน

สองจำนวนคือ  a  และ  b + c  มาคูณกันนั้น  เราสามารถแยกให้อยู่ในรูปผลบวกของผลคูณ  ab  กับ  ac  ก็ได้

4.  ทฤษฎีบทสำคัญในระบบจำนวนจริง

                        “ ทฤษฎีบท “  หมายถึง  ข้อความที่เป็นจริง  และสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้คุณสมบัติต่าง ๆ มาอ้างอิง ดังนั้นทฤษฎีที่จะกล่าวต่อไปนี้เป็นจริงเสมอในระบบจำนวนจริง

ทฤษฎีบทที่  1  ให้  a, b  และ  c  เป็นจำนวนจริง

ถ้า  a + c = b + c  แล้ว  a = b 

ทฤษฎีบทที่  2  ให้  a, b  และ  c  เป็นจำนวนจริง  ซึ่ง  c ¹ 0

ถ้า  ac = bc  แล้ว  a = b

ทฤษฎีบทที่  3  ถ้า  a  เป็นจำนวนจริงใด ๆ

a x 0 = 0 x a = 0

ทฤษฎีบทที่  4  ให้  a  และ  b  เป็นจำนวนจริงใด ๆ

ถ้า  ab = 0  แล้ว  a = 0  หรือ  b = 0

ทฤษฎีบทที่  5  ให้  a, b, c  และ  d  เป็นจำนวนจริง  โดยที่  b ¹ 0, d ¹ 0

 จะได้ว่า  ก็ต่อเมื่อ  ad = bc

ทฤษฎีบทที่  6  ให้  a ¹ 0, b ¹ 0 เป็นจำนวนจริง

 ถ้า  ab = 1  แล้ว  a = b^-1 หรือ  b = a^-1

ทฤษฎีบทที่  7  ให้  a, b  เป็นจำนวนจริงโดยที่  a ¹ 0, b ¹ 0

                         จะได้ว่า  

ทฤษฎีบทที่  8  ให้  a, b, c  และ  d  เป็นจำนวนจริงที่  c ¹ 0, d ¹ 0

                         จะได้ว่า  

ทฤษฎีบทที่  9  ให้  a, b, c  และ  d  เป็นจำนวนจริงที่  c ¹ 0, d ¹ 0

                        จะได้   

ที่มา  www.mwk.ac.th/.../ระบบจำนวนจริง/โครงสร้างระบบจำนวนจริง.doc