ระบบจำนวนจริง ( Real Number )

1.      ลักษณะของจำนวนจริง

ในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ไม่ว่าจะเป็นแขนงใด  จะมีสิ่ง ๆ หนึ่งเข้ามา

เกี่ยวข้องด้วยเสมอ  สิ่งนั้นก็คือ  จำนวน  ดังนั้นสิ่งที่เราควรเข้าใจ  และทำการศึกษาก่อนก็คือ  ความเข้าใจเกี่ยวกับจำนวนซึ่งอยู่ในรูปลักษณะต่าง ๆ กัน  ดังนั้นจึงมีการนำจำนวนต่าง ๆ เหล่านี้มาจัดเป็นกลุ่ม  เป็นพวก  ซึ่งเราเรียกว่าเซต  และจำนวนใดจะอยู่ในเซตเดียวกัน  หรือคนละเซตกันก็ขึ้นอยู่กับลักษณะหรือคุณสมบัติที่เหมือน  หรือแตกต่างกันของจำนวนเหล่านี้  ในทางคณิตศาสตร์เรามีเซตของจำนวนต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเซตของจำนวนจริงดังนี้

จำนวนเต็ม

เซตของจำนวนเต็ม

เซตของจำนวนเต็ม  คือ  เซตที่เกิดจากการยูเนียนกันของเซต

ของจำนวนเต็มบวก  เซตของจำนวนเต็มลบ  และเซตของศูนย์นั่นคือ

                                    I = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } 

1.      เซตของจำนวนเต็มบวก  หรือเซตของจำนวนนับ

เราคงคุ้นเคยกับสัญลักษณ์ 1, 2, 3, … ซึ่งเราเรียกจำนวนนับ

หรือจำนวนธรรมชาติ ( natural  number ) หรือจำนวนเต็มบวก ( positive  integers )  จำนวนนี้เป็นจำนวนชุดแรกที่มนุษย์รู้จัก

เซตของจำนวนเต็มบวก  หรือเซตของจำนวนนับ  คือ  เซตที่

ประกอบด้วยสมาชิก 1, 2, 3, 4, … และเรานิยมใช้สัญลักษณ์  N  หรือ  I⁺  แทนเซต -

ดังกล่าวนั่นคือ

                                    N = I⁺ = { 1, 2, 3, 4, 5,  … }

                                   

2.  เซตของจำนวนเต็มลบ

เซตของจำนวนเต็มลบ  คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิก

–1, -2, -3, … และเรานิยมใช้สัญลักษณ์  I ^- แทน  เซตดังกล่าว  นั่นคือ

I ^- = { -1, -2, -3, -4, -5, … }

3.      เซตของศูนย์

เซตของศูนย์  คือ  เซตที่มี 0 เป็นสมาชิกเพียงตัวเดียว  ดังนั้น

เซตดังกล่าว  คือ  { 0 }

                                   

                                    จากลักษณะของเซตทั้ง  3  ดังกล่าวจะพบว่าเซตของจำนวนเต็มบวก  เซตของจำนวนเต็มลบ  และเซตของศูนย์  จะไม่มีสมาชิกที่ซ้ำกันเลยกล่าวคือถ้านำเซตทั้ง  3  มา  อินเตอร์เซกชันกัน  จะได้เป็นเซตว่าง  แต่ถ้านำเซตทั้ง  3  มายูเนียนกันก็จะเกิดเป็นเซตใหม่ขึ้นมานั่นก็คือเซตของจำนวนเต็มนั่นเอง

เศษส่วน

    เซตของเศษส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

เซตของเศษส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม  คือเซตที่มีสมาชิกเป็น

เศษส่วนโดยมีเงื่อนไขว่า  เศษต้องเป็นจำนวนเต็ม  ส่วนต้องเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับศูนย์  และไม่สามารถตัดทอนให้เหลือส่วนเป็น  1  ได้ ( ไม่สามารถเขียนเป็นจำนวนเต็มได้ )  ซึ่งตัวอย่างของสมาชิกในเซตนี้  

                                 ในทำนองเดียวกัน  เราจะพบว่าเซตของจำนวนเต็ม  กับ  เซตของเศษส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม  จะไม่มีสมาชิกซ้ำกันเลย  กล่าวคือ  ถ้านำเซตทั้งสองมาอินเตอร์เซกชันกัน  ก็จะได้เซตว่างแต่ถ้านำมายูเนียนกัน  ก็จะได้เซตใหม่ขึ้นอีกเซตหนึ่งเราเรียกเซตนั้นว่า  เซตของจำนวนตรรกยะ ( rational  number ) และนิยมใช้  Q  เป็นสัญลักษณ์แทนเซต

จำนวนตรรกยะ

     เซตของจำนวนตรรกยะ

เซตของจำนวนตรรกยะ  คือเซตที่เกิดจากการยูเนียนของเซตของ

จำนวนเต็มกับเซตของเศษส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม  นั่นคือ

                                    Q = {   I a e I, b e I และ b ¹ 0 }

                                    สมาชิกของเซตของจำนวนตรรกยะนั้น  ต้องเป็นเศษส่วน  และส่วนต้องไม่เท่ากับศูนย์และข้อสำคัญที่สุดคือ  ตัวเศษและส่วนนั้นต่างก็เป็นจำนวนเต็มทั้งสิ้น

ตัวอย่างที่ 1   1.  เป็นจำนวนตรรกยะ  เพราะว่า  4 e I, 5 e I และ 5 ¹ 0

                           

                           1 ¹ 0 ( แสดงว่าจำนวนเต็มทุกจำนวนต้องเป็นจำนวนตรรกยะ

                            เพราะจำนวนเต็มทุกจำนวนจะต้องมีส่วนเป็น  1  เสมอ )

                    

ตัวอย่างที่ 2   1.  2.5  เป็นจำนวนตรรกยะ  เพราะว่า  2.5 = 

2.      0.79  เป็นจำนวนตรรกยะ  เพราะว่า  0.79 =  

3.      0.121212 … เป็นจำนวนตรรกยะ  เพราะว่า  0.121212 … = 0.1^.2^. 

จากตัวอย่างที่ 2  จะพบว่า  ทศนิยมรู้จบ  และ  ทศนิยมไม่รู้จบชนิดซ้ำ

กัน  ต่างก็สามารถเขียนอยู่ในรูป     โดยที่  a e I, b e I  และ b ¹ 0  ได้  ดังนั้น

ทศนิยมรู้จบ  และทศนิยมไม่รู้จบชนิดซ้ำกัน  ต่างก็เป็นจำนวนตรรกยะ  แต่จะมีทศนิยมอีกประเภทหนึ่ง  ซึ่งไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้  ทศนิยมดังกล่าวนั้น  คือ  ทศนิยมไม่รู้ชนิดไม่ซ้ำกัน  เช่น  1.41421 …, 1.73205 …, 3.14286… ซึ่งแต่ละจำนวนดังกล่าว  เราไม่สามารถเขียนให้สิ้นสุดลงได้  เพราะถ้าเขียนสิ้นสุดลงเมื่อใด  ค่าที่ได้จะเป็นทศนิยมรู้จบ  ซึ่งจะเป็นจำนวนตรรกยะทันที  ดังนั้น  นักคณิตศาสตร์จึงคิดสัญลักษณ์บางอย่างขึ้นมาแทนทศนิยมไม่รู้จบชนิดไม่ซ้ำกันเหล่านี้  เรียกจำนวนเหล่านี้ว่า  จำนวนตรรกยะ        

จำนวนอตรรกยะ

    เซตของจำนวนอตรรกยะ

          ในการศึกษาของปีทาโกรัสและคณะพบว่า “ ถ้าด้านประกอบมุม

ฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากยาว 1 หน่วยแล้ว  ไม่สามารถหาคำตอบที่เป็นจำนวน

ตรรกยะที่เป็นบวกของด้านตรงข้ามมุมฉากได้  นั่นคือ

                                    X ²= 1 + 1

                                    X² = 2

เซตของจำนวนอตรรกยะ  คือเซตที่มีสมาชิกเป็นทศนิยมไม่รู้จบ

ชนิดไม่ซ้ำกัน  ซึ่งสมาชิกเหล่านี้ได้แก่     เป็นต้น

                                    ในทำนองเดียวกันเราจะพบว่าเซตของจำนวนตรรกยะ  กับเซตของจำนวนอตรรกยะ  จะไม่มีสมาชิกซ้ำกันเลย  กล่าวคือ  ถ้านำเซตทั้งสองมา –

อินเตอร์เซกชันกันจะได้เป็นเซตว่าง  แต่ถ้านำมายูเนียนกันจะได้เซตใหม่ขึ้นมาอีกเซตหนึ่ง  เราเรียกเซตนั้นว่า  เซตของจำนวนจริง  และนิยมใช้  R  เป็นสัญลักษณ์แทนเซตดังกล่าว

จำนวนจริง

      เซตของจำนวนจริง

เซตของจำนวนจริง  คือเซตที่เกิดจากการยูเนียนกันของเซตของ

จำนวนตรรกยะกับเซตของจำนวนอตรรกยะ

ข้อควรสนใจ    1.  มีจำนวนอีกประเภทหนึ่งที่ไม่ใช่จำนวนจริง  จำนวนเหล่านั้นได้แก่                         …เป็นต้น  ( รากที่สองของจำนวนลบ )

                              จำนวนเหล่านี้เราเรียกว่าจำนวนจินตภาพ  ซึ่งเป็นจำนวนที่เราไม่

                              สามารถเปรียบเทียบความมากน้อยได้ 

2. ในเซตของจำนวนจริง  เราจะไม่มีการเขียนเศษส่วนที่ตัวส่วนเป็น

     ศูนย์โดยเด็ดขาด  เพราะลักษณะดังกล่าวไม่มีความหมาย  หรือ  

                                           

2. การเท่ากันของจำนวนจริง

หลักการเท่ากันของจำนวนจริง  เป็นการแสดงให้เห็นว่าลักษณะของ

จำนวนจริงที่จะเท่ากันได้นั้น  มีลักษณะอย่างไร  และเราเรียกลักษณะต่าง ๆ เหล่านั้นว่า  คุณสมบัติ  และคุณสมบัติเหล่านี้เป็นจริงเสมอ  และนอกจากนี้ยังสามารถนำไปใช้อ้างอิงในการพิสูจน์เกี่ยวกับการเท่ากันของจำนวนอื่น ๆ ได้อีก

1.      คุณสมบัติสะท้อน  ( Reflexive  Property )

ถ้า  a  เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว  a = a

                              คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  จำนวนจริงใดก็ตาม  ต้องมีค่าเท่ากับจำนวนจริงนั้นเสมอ

                        2.  คุณสมบัติการสมมาตร  ( Symmetric  Property )

                             ให้  a  และ  b  เป็นจำนวนจริงใด ๆ

                             ถ้า  a = b  แล้ว  b = a

                             คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ถ้ามีจำนวนจริง  2  จำนวนเท่ากัน  จจะเขียนจำนวนใดไว้ทางซ้ายมือของเครื่องหมายเท่ากับ  หรือเขียนไว้ทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับก็ได้  ความหมายยังคงเหมือนเดิม

ตัวอย่างที่ 3    1.  X + 2 = 5 จะมีความหมายเหมือนกับ  5 = X + 2

                         2.  X = 36  จะมีความหมายเหมือนกับ  X = 36

                        3.  คุณสมบัติการถ่ายทอด  ( Transitive  Property )

                             ให้  a, b  และ  c  เป็นจำนวนจริงใด ๆ

                              ถ้า  a = b  และ  b = c  แล้ว  a = c

                              คุณสมบัติข้อนี้  แสดงให้เห็นถึงการเชื่อมโยง  หรือความต่อเนื่องจากการเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 4    ถ้าเรามี  a = 2

                          และรู้ว่า  2 = b

                          จากคุณสมบัติการถ่ายทอด  เราสามารถสรุปได้ว่า  a = b

                        4.  คุณสมบัติการบวกด้วยจำนวนเท่ากัน

                              ให้  a, b  และ  c  เป็นจำนวนจริงใด ๆ

                              ถ้า  a = b  แล้ว  a + c = b + c

                              คุณสมบัติข้อนี้แสดงให้เห็นว่า  ถ้ามีจำนวนจริงใด ๆ สองจำนวนเท่ากันเราเพิ่มเข้าไปอีกจำนวนละเท่า ๆ กัน  ผลที่ได้ยังคงเท่ากันเสมอ

ตัวอย่างที่ 5     ให้  x = 7  และ  b, c  เป็นจำนวนจริง

                          จะได้  x + b = 7 + b

                                     x + c = 7 + c

                         5.  คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากัน 

                              ให้  a, b  และ  c  เป็นจำนวนจริงใด ๆ

                              ถ้า  a = b  แล้ว ac = bc

                        คุณสมบัติข้อนี้ก็เช่นเดียวกับคุณสมบัติข้อ 4  แต่เปลี่ยนจากการบวกเป็นการคูณ  นั่นคือ  ถ้ามีจำนวนจริงใด ๆ สองจำนวนเท่ากันเราคูณเข้าไปด้วยจำนวนที่เท่ากันผลที่ได้ยังคงเท่ากันเสมอ

3.  คุณสมบัติของจำนวนจริงข้อ 1 - 11

                        ในระบบจำนวนจริง  จะมีคุณสมบัติสำคัญอยู่ 15 ข้อ  ซึ่งเราจะต้องทำความเข้าใจและศึกษาเป็นอย่างดี  คุณสมบัติเหล่านี้จะเป็นจริงเสมอ  ไม่ว่าจำนวนจริงนั้นจะมีลักษณะใดก็ตาม  สำหรับในหัวข้อนี้จะกล่าถึงคุณสมบัติของจำนวนจริง  11  ข้อแรกเสียก่อน

                        ให้  R  เป็นเซตของจำนวนจริง  โดยที่มี  a, b  และ  c  เป็นสมาชิกในเซตนี้  ( แสดงว่า  a, b  และ c  เป็นจำนวนจริง )  คุณสมบัติเหล่านี้จะเป็นจริงสำหรับระบบจำนวนจริงเสมอ

1.      คุณสมบัติปิดของการบวก

ถ้า  a e R  และ  b e R  แล้ว  a + b e R

                             คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ถ้าเรานำสมาชิกที่อยู่ใน  R  มาบวกกันแล้วผลที่ได้จะยังคงเป็นสมาชิกที่อยู่ใน  R  เสมอ  ( จำนวนจริงคูณกับจำนวนจริง  ผลที่ได้ยังคงเป็นจำนวนจริงเสมอ )

2.      คุณสมบัติปิดของการคูณ

ถ้า  a e R และ  b e R  แล้ว  ab e R

คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ถ้าเรานำสมาชิกที่อยู่ใน  R  มาคูณกันแล้ว

ผลที่ได้จะยังคงเป็นสมาชิกที่อยู่ใน  R  เสมอ  ( จำนวนจริงคูณกับจำนวนจริง  ผลที่ไดัยังคงเป็นจำนวนจริงเสมอ )

3.      คุณสมบัติการสลับที่ของการบวก

ถ้า  a e R  และ  b e R  แล้ว  a + b = b + a

คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ในการนำสมาชิก  R  มาบวกกันนั้น  เราจะ

นำสมาชิกตัวใดเป็นตัวตั้ง  หรือเป็นตัวบวกก็ได้  ผลที่ได้ย่อมเท่ากันเสมอ

4.      คุณสมบัติการสลับที่ของการคูณ

ถ้า  a e R  และ  b e R  แล้ว  ab = ba

คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ในการนำสมาชิกใน  R  มาคูณกันนั้น  เรา

นำสมาชิกตัวใดเป็นตัวตั้งหรือเป็นตัวคูณก็ได้  ผลที่ได้ย่อมเท่ากันเสมอ

5.      คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก

ถ้า  a, b  และ  c  ต่างเป็นสมาชิกใน  R  แล้ว

                              ( a + b ) + c = a ( b + c )

                             คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  การที่มีจำนวนจริงหลาย ๆ จำนวนมาบวกกันนั้นเราจะนำจำนวนจริงข้อใดบวกกันก่อนก็ได้  แล้วจึงไปบวกกับจำนวนที่เหลือทีหลัง

ซึ่งผลที่ได้ย่อมเท่ากันเสมอ

6.      คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ

ถ้า  a, b  และ  c  ต่างเป็นสมาชิกใน  R  แล้ว  (ab)c = a(bc)

คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  การที่มีจำนวนจริงหลาย ๆ จำนวนคูณกัน

นั้นเราจะนำจำนวนจริงคู่ใดคูณกันก่อนก็ได้  แล้วจึงนำไปคูณกับจำนวนที่เหลือทีหลัง  ซึ่งผลที่ได้ย่อมเท่ากันเสมอ

7.      คุณสมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก

ในเซตจำนวนจริง  R  จะมี  0  e  R  ซึ่ง

0 + a = a + 0 = a  สำหรับทุก ๆ ค่าของ  a  ใน  R  เราเรียก  0 ว่า

เอกลักษณ์การบวก

      คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ในเซตของจำนวนจริงนี้จะมีจำนวนจริง

พิเศษอยู่ตัวหนึ่ง  คือ  0  ซึ่ง  0  นั้นเมื่อนำไปบวกกับจำนวนจริงใด  ผลที่ได้จะเป็นจำนวนจริงนั้นเสมอ  และต้องมีคุณสมบัติการสลับที่ด้วย  เราจึงตั้งชื่อ  0  ว่าเอกลักษณ์การบวก

8.      คุณสมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ

ในเซตของจำนวนจริง  R  จะมี  1 e R ซึ่ง

1 x a= a x 1 = a  สำหรับทุก ๆ ค่าของ a  ใน  R  เราเรียก  1  ว่า

เอกลักษณ์การคูณ

      คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ในเซตของจำนวนจริงนั้น  จะมีจำนวน

จริงพิเศษอยู่ตัวหนึ่ง  คือ  1  ซึ่ง  1  นั้นเมื่อนำไปคูณกับจำนวนจริงใด  ผลที่ได้จะเป็นจำนวนจริงตัวนั้นเสมอ  และต้องมีคุณสมบัติการสลับที่ด้วย  เราจึงตั้งชื่อ  1  ว่า  เอกลักษณ์การคูณ

9.      คุณสมบัติการมีอินเวอร์สการบวก

ถ้า  a e R จะมี  -a e R  ซึ่ง

a + (-a) = (-a) + a = 0

เรียก  -a  ว่า  อินเวอร์สการบวกของ  a

คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ถ้าเราหยิบสมาชิกใน  R  ขึ้นมา  1  ตัว

จะเป็นตัวใดก็ได้สมมติให้เป็น  a  ก็จะมี  -a  ใน  R  เหมือนกัน  และสมาชิกทั้งสองจำนวนนี้  เมื่อนำมาบวกกัน  ผลที่ได้จะเป็นเอกลักษณ์การบวก  ( คือ 0 )  และการบวกกันนั้นต้องสลับที่ได้ด้วย

        

      

       10.  คุณสมบัติการมีอินเวอร์สการคูณ

ถ้า  a e R  และ  a ¹ 0  จะมี  a^-1 e R  ซึ่ง

aa^-1  =  a^-1a  =  1

เรียก  a^-1   ว่าอินเวอร์สการคูณของ  a

คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ถ้าเราหยิบสมาชิกใน  R  ขึ้นมา  1  ตัว

ซึ่งไม่ใช่  0  ก็จะมีสมาชิกใน  R  อยู่  1  ตัวซึ่งเมื่อนำมาคูณกับสมาชิกใน  R  ที่หยิบขึ้นมา  ผลที่ได้จะเป็นเอกลักษณ์การคูณ  คือ  1  และการคูณกันนั้นสามารถสลับที่ได้ด้วย

                    11.  คุณสมบัติการแจกแจง

ถ้า  a, b  และ  c  เป็นสมาชิกใน  R  แล้ว

a ( b + c ) = ab + ac

คุณสมบัติข้อนี้  เป็นการแสดงให้เห็นว่าในการนำจำนวนสองจำนวน

สองจำนวนคือ  a  และ  b + c  มาคูณกันนั้น  เราสามารถแยกให้อยู่ในรูปผลบวกของผลคูณ  ab  กับ  ac  ก็ได้

4.  ทฤษฎีบทสำคัญในระบบจำนวนจริง

                        “ ทฤษฎีบท “  หมายถึง  ข้อความที่เป็นจริง  และสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้คุณสมบัติต่าง ๆ มาอ้างอิง ดังนั้นทฤษฎีที่จะกล่าวต่อไปนี้เป็นจริงเสมอในระบบจำนวนจริง

ทฤษฎีบทที่  1  ให้  a, b  และ  c  เป็นจำนวนจริง

ถ้า  a + c = b + c  แล้ว  a = b 

ทฤษฎีบทที่  2  ให้  a, b  และ  c  เป็นจำนวนจริง  ซึ่ง  c ¹ 0

ถ้า  ac = bc  แล้ว  a = b

ทฤษฎีบทที่  3  ถ้า  a  เป็นจำนวนจริงใด ๆ

a x 0 = 0 x a = 0

ทฤษฎีบทที่  4  ให้  a  และ  b  เป็นจำนวนจริงใด ๆ

ถ้า  ab = 0  แล้ว  a = 0  หรือ  b = 0

ทฤษฎีบทที่  5  ให้  a, b, c  และ  d  เป็นจำนวนจริง  โดยที่  b ¹ 0, d ¹ 0

 จะได้ว่า  ก็ต่อเมื่อ  ad = bc

ทฤษฎีบทที่  6  ให้  a ¹ 0, b ¹ 0 เป็นจำนวนจริง

 ถ้า  ab = 1  แล้ว  a = b^-1 หรือ  b = a^-1

ทฤษฎีบทที่  7  ให้  a, b  เป็นจำนวนจริงโดยที่  a ¹ 0, b ¹ 0

                         จะได้ว่า  

ทฤษฎีบทที่  8  ให้  a, b, c  และ  d  เป็นจำนวนจริงที่  c ¹ 0, d ¹ 0

                         จะได้ว่า  

ทฤษฎีบทที่  9  ให้  a, b, c  และ  d  เป็นจำนวนจริงที่  c ¹ 0, d ¹ 0

                        จะได้   

ที่มา  www.mwk.ac.th/.../ระบบจำนวนจริง/โครงสร้างระบบจำนวนจริง.doc

เรขาคณิต : การหาพื้นที่และปริมาตร

                   1. พิระมิด(Pyramid)  คือ ทรงสามเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใด ๆ มียอดแหลม

   ซึ่งไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน และทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น

             พื้นที่ผิวเอียง  =  (1/2) x เส้นรอบฐาน x สูงเอียง

            พื้นที่ผิวทั้งหมด  =  พื้นที่ผิวเอียง  +  พื้นที่ฐาน

            ปริมาตร           =  (1/3) x พื้นที่ฐาน x สูง

2.  ปริซึม  เป็นรูปทรงที่มีหน้าตัด(ฐาน)  ทั้งสองข้างเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ มีหน้าข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก การเรียกชื่อปริซึมจะเรียกตามรูปหน้าตัดของปริซึม

                        พื้นที่ผิวข้าง  =  เส้นรอบฐาน x สูง

                        พื้นที่ผิวทั้งหมด  =  พื้นที่ผิวข้าง  +  2 พื้นที่หน้าตัด

                        ปริมาตร  =  พื้นที่ฐาน  x สูง  = กว้าง x ยาว x สูง

             3.  วงกลมแบน (Cycle)

                        วงกลม  =  pr²   โดยที่  p = 22/7  หรือ p = 3.14159

                        พื้นที่วงแหวน  =     pr₁²   -  pr₂²    โดยที่ r₁  =  รัศมีวงกลมใหญ่

                                                                                                r₁₂  =  รัศมีวงกลมเล็ก

                        เส้นรอบวง  =   2pr 

             4.    ทรงกลม (sphere)  คือ ทรงสามมิติที่มีผิวโค้งเรียบและจุดทุกจุดบนผิวโค้งอยู่

ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะทางเท่ากัน

                              พื้นที่ผิวทรงกลม  =  4pr²

                              ปริมาตรทรงกลม   =   (4/3)pr³

              5.   ทรงกระบอก (Cylinder) คือ ทรงสามมิติใด ๆ ที่มีฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับหน้าตัด และอยู่ในระนาบที่ขนานกัน เมื่อตัดทรงสามมิตินี้ด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว จะได้รอยตัดเป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ

                         พื้นที่ผิวข้าง  =  2pr  x  h        เมื่อ h คือ สูงตรง

 r  คือ  รัศมีปากกระบอก )

                        พื้นที่ผิวทั้งหมด  =  พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานทั้งสองของทรงกระบอก

                        ปริมาตร   =  pr² x h 

                6.    กรวย (cone)  คือ  ทรงสามมิติใด ๆ ที่มีฐานเป็นวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระแนบเดียวกันกับฐาน และเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดและจุดใด ๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรง

                                     พื้นที่ผิวข้าง  =  prl    เมื่อ l  = สูงเอียง 

                                                                                         r  = รัศมีของปากกระบอก

                                    พื้นที่ผิวกรวย  =  prl x pr²

                                    ปริมาตร    =   (1/3) pr²h

7.             พื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉาก  =  กว้าง x ยาว

8.             พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส  =  ด้าน x ด้าน

9.             พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน = ฐาน x สูง

10.             พื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน  =  1/2 x ผลคูณของเส้นทแยงมุม

11.             พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู  =  1/2 x  ผลบวกด้านคู่ขนาน x สูง

12.             พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมใด ๆ = 1/2 x ความยาวของเส้นทแยงมุม  x  ผลบวกของความยาวของเส้นกิ่งที่ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมนั้น

13.     พื้นที่สามเหลี่ยม = 1/2 x ฐาน  x สูง

ที่มา  www.tutormaths.com/matha15.doc

ภาคตัดกรวย

1.             วงกลม (circle) คือ  เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะทางคงที่เสมอ เรียกจุดคงที่ว่า จุดศูนย์กลางของวงกลม  ระยะทางคงที่เรียกว่า รัศมี (r )

สมการวงกลม

      ถ้าวงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด และรัศมีเท่ากับ r

                              สมการวงกลมคือ  x² + y² + r²

      ถ้าวงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด(h,k) และรัศมีเท่ากับ r

                              สมการวงกลมคือ  (x-h)² + (y-k)² + r²

                              สมการวงกลมในรูปทั่วไป คือ x² + y² +Ax + By + C = 0

2.             พาราโบลา  คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งในเซตดังกล่างจะอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเท่ากับอยู่ห่างจากเส้นคงที่เส้นหนึ่งเสมอ

จุดคงที่เรียกว่าจุด โฟกัส

เส้นคงที่เรียกว่า ไดเรกทริกซ์

เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริกซ์ เรียกว่า แกนของพาราโบลา

จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรียกว่า จุดยอด                        

            สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่จุด (h,k)

            หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h

                                                                                    แทน y ด้วย y-k

3.             วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ

ข้อควรจำ        

ผลบวกของระยะทางจากจุดบนวงรีไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าเท่ากับ  2a

                        สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

            กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x                     

            กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y         

           

สมการ วงรีซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่จุด (h,k)

            หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h

                                                                                    แทน y ด้วย y-k

              ความสัมพันธ์  a² = b² + c²

4.             ไฮเปอร์โบลา คือ เซตของจุดซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใดๆ ในเซตนี้ไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าคงตัวเสมอผลต่างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์โบลาไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าเท่ากับ 2a

                                             

ความสัมพันธ์  c² = a² + b²

สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่จุด (h,k)

            หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h

                                                                       แทน y ด้วย y-k

เพอร์สเปคทีฟ

ประวัติทางคณิตศาสตร์

ประมาณ ค.ศ.1415 ฟิลิปโป บรูเนลเลสคิ (Filippo Brunelleschi : 1377 – April 15, 1446)  (ภาพที่ 1) นักสถาปัตยกรรมที่มีชื่อเสียงของอิตาลีในสมัยฟื้นฟูศิลปวิทยา (Renaissance) ได้แสดงวิธีการทางเรขาคณิตที่เรียกว่าเพอร์สเปคทีฟซึ่งศิลปินได้นำมาใช้ในการเขียนแบบและเขียนภาพ  การแสดงของเขาคือการวาดโครงร่างของสิ่งก่อสร้างในสไตล์ศิลปะของเมืองฟลอเรนซ์ (Florentine) ลงบนกระจก  เมื่อโครงร่างของภาพวาดได้ถูกต่อเติมเขาสังเกตเห็นว่าเส้นตรงทั้งหลายได้ลู่เข้าสู่เส้นแนวนอน และเขายังได้พบข้อเท็จจริงว่าภาพเขียนบนกระจกของสถานที่ในโบสถ์ที่ยังไม่มีประตูเข้าออกของโบสถ์ เมื่อมองลอดรูเล็กๆ ออกไปทางข้างหลังของภาพจะเห็นเป็นภาพภายในโบสถ์  จึงเกิดแนวคิดของความรู้ทางเพอร์สเปคทีฟ (ตัวอย่างในภาพที่ 2)

นักศิลปะของของอิตาลีในสมัยฟื้นฟูศิลปวิทยาได้ใช้ความรู้เรขาคณิตแบบเพอร์สเปคทีฟในงานเขียนโดยเฉพาะการเขียนภาพต่างๆ ตามวิหาร โบสถ์ และสิ่งก่อสร้างอื่นๆ ตัวอย่างเช่น    ภาพวาดของ ปิเอโตร เปอรูกิโน  (Pietro  Perugino)   แสดงสถาปัตยกรรมที่ตั้งตระหง่านในพื้นที่สี่เหลี่ยมตารางหมากรุกที่เป็นจุดเริ่มต้นของศาสนาคริสต์ (ภาพที่ 3) พื้นสี่เหลี่ยมกระดานหมากรุกนี้เป็นหลักการเบื้องต้นของเรขาคณิตแบบเพอร์สเปคทีฟ    เส้นตรงเหล่านี้ลู่เข้าสู่จุดสิ้นสุด และมีอัตราส่วนแนวนอนถอยเข้าหาจุดลู่เข้าด้วยระยะทางทางเรขาคณิตที่สามารถกำหนดได้  นี่กลายเป็นส่วนหนึ่งของศิลปะของการออกแบบภาพ  แนวทางของเพอร์สเปคทีฟ เป็นการเขียนภาพที่เริ่มต้นจากจุดเดี่ยวๆ ที่มองเห็นและขยายไปยังส่วนประกอบอื่นๆ ของสิ่งของ

การใช้เพอร์สเปคทีฟเขียนภาพในสมัยฟื้นฟูศิลปวิทยาเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว ฟิลิปโป บรูเนลเลสคิ เป็นคนแรกที่เข้าใจเพอร์สเปคทีฟ โดยมีเพื่อนนักคณิตศาสตร์อีกหลายคนเป็นผู้ร่วมคิดแต่ไม่ได้มีตำราที่ตีพิมพ์ไว้ แต่ต่อมามีนักคณิตศาสตร์ที่สนใจเพอร์สเปคทีฟเช่น ลีออน แบททีสทา อัลเบอร์ทิ (Leon Battista Alberti) เขียนตำราชื่อ เดตา พิททูรา (Della Pittura) ซึ่งเป็นตำราแสดงระยะในการเขียนภาพ และสร้างทฤษฎีที่เกี่ยวการฉายภาพบนระนาบหรือรังสีของแสงผ่านตาไปยังทิวทรรศน์ทำให้ได้ภาพในระนาบ เขาสามารถคำนวณความสูงและระยะทางของวัตถุโดยใช้สามเหลี่ยมคล้าย ซึ่งอาศัยหลักการสามเหลี่ยมคล้ายของยูคลิดซึ่งแสดงลักษณะเบื้องต้นของเพอร์สเปคทีฟ 

หลักการของเพอร์สเปคทีฟ

                สามารถอธิบายเพอร์สเปคทีฟได้โดยประยุกต์หลักการศิลปะเชิงกราฟ พิจารณาจากภาพที่ 6 สายตาที่มองเห็นมีข้อจำกัดใน 2 ทาง คือ

1. มองเห็นวัตถุภายในขอบเขตที่เห็น  (field of vision) ซึ่งอยู่ในวงรีที่วงไว้ จุดยอดของกรวยกลมอยู่ที่ดวงตา ภาพที่มองออกไปสำหรับคนปกติ จะวัดขนาดของมุมที่จุดยอดของกรวยได้ประมาณ 120 องศา ซึ่งมุมนี้วัดได้จากขนาดของเรตินา และระยะทางจากวัตถุ  

2.  สายตามองไปที่จุดในแนวเส้นตรง ไม่สามารถมองเห็นด้านหลังของวัตถุ เพราะฉะนั้นจุดประสงค์ของการมองเห็นหุ่นหรือสิ่งของคือจุดทั้งหมดจะอยู่ในรังสีจากสายตาเท่ากัน เพราะว่าสายตามองเห็นจุดเหล่านั้นเพียงครั้งเดียว ในหลักการทางคณิตศาสตร์จุดเหล่านี้สามารถกำหนดเป็นจุดตรงกันข้ามกับวัตถุได้

หลักการทางคณิตศาสตร์ที่ค้นพบและนำไปประยุกต์ของเพอร์สเปคทีฟ  มีบทนิยามและทฤษฎีบทที่สำคัญดังต่อไปนี้

บทนิยาม 1.  ปริภูมิยูคลิตสามมิติ V (Three – dimensional Euclidean space V)     คือเซตของจุด

p = (x, y, z) ซึ่งแทนด้วยพิกัดจำนวนจริง 3 จำนวนหลายจุด   ระนาบจำนวนจริง เชิงภาพฉาย (real projective plane) P₂ คือเซตของจุดทั้งหมดใน V ยกเว้นจุดกำเนิด นั่นคือ

                P₂ = { p = (x, y, z) |  x, y, z  เป็นจำนวนจริงยกเว้นทุกค่าเป็น 0}

ภายใต้เงื่อนไขที่ว่าแต่ละจุดคือจุดเอกเทศด้วยค่าสเกล่าที่ไม่เป็น 0 คูณกับตัวของมันเอง ดังนั้น p ก็คือ kp เมื่อ k เป็นจำนวนจริงไม่เป็น 0

บทนิยาม 2. จุดในระนาบจำนวนจริงเชิงภาพฉาย P₂ คือเส้นในปริภูมิยูคลิตสามมิติ V ที่ผ่านไปตลอด ยกเว้นจุดกำเนิด เส้นในระนาบจำนวนจริงเชิงภาพฉาย P₂ คือระนาบในปริภูมิยูคลิตสามมิติ V ที่ผ่านไปตลอด ยกเว้นจุดกำเนิด

ทฤษฎีบท 1.  ในระนาบจำนวนจริงเชิงภาพฉาย  จุด 2 จุดที่แตกต่างกันจะกำหนดเส้นได้เส้นเดียวที่ผ่านจุด 2 จุดนี้   เส้น 2 เส้นที่แตกต่างกันจะกำหนดจุดได้จุดเดียวที่ผ่านเส้น 2 เส้นนี้ 

ทฤษฎีที่สำคัญที่เกี่ยวกับเพอร์สเปคทีฟของจุดและเส้นมีดังนี้

บทนิยาม 3. สามเหลี่ยมใดๆ 2 รูป เป็นเพอร์สเปคทีฟจากจุด (perspective from a point) ถ้ากำหนดให้เส้นตรงที่สอดคล้องกับจุดยอดเข้าคู่กันมีจุดตัดร่วมกันได้

สามเหลี่ยมใดๆ 2 รูป เป็นเพอร์สเปคทีฟจากเส้น (perspective from a line) ถ้ากำหนดให้จุดที่สอดคล้องกับเส้นเข้าคู่กันจะมีด้านตัดร่วมกันได้

เพอร์สเปคทีฟจากจุดและเพอร์สเปคทีฟจากเส้นอธิบายได้ดังภาพต่อไปนี้ ภาพที่ 8 เป็นเพอร์สเปคทีฟจากจุด abc และefg  มีเส้นตรงที่สอดคล้องกับจุดยอดเข้าคู่กันคือ ab กับ gf , ac กับ ge และ bc กับ  fe  เข้าคู่กัน  จุด k เป็นจุดที่abc และefg  เป็นเพอร์สเปคทีฟกัน

ทฤษฎีบท 2.  สามเหลี่ยมใดๆ 2 รูป เป็นเพอร์สเปคทีฟจากจุด ก็ต่อเมื่อสามเหลี่ยม 2 รูปนั้นเป็นเพอร์สเปคทีฟจากเส้น

ส่วนประกอบของภาพเพอร์สเปคทีฟ

ภาพเพอร์สเปคทีฟเป็นภาพที่ให้ความรู้สึกมีความลึกให้ความคุ้นตาเป็นไปตามธรรมชาติที่มองเห็น   ส่วนประกอบของภาพเพอร์สเปคทีฟ ประกอบด้วย (ภาพที่ 10)

              1. เส้นแผ่นระนาบ (picture plane)  คือเส้นระนาบเพื่อที่จะเขียนภาพ หรือระนาบที่จะเขียนภาพ หรือ คือแผ่นกระดาษนั่นเอง

2. เส้นพื้น (ground line) คือพื้นห้อง หรือเส้นพื้นโลกที่วัตถุวางอยู่

3. เส้นระดับตา (horizon line) คือเส้นที่ขนานกับเส้นพื้นและจะขึ้นลงได้ ถ้ามองจากที่สูง หรือต่ำ  เป็นเส้นสำคัญที่จุดรวมสายตา (vanishing point) จะอยู่บนเส้นนี้

4. จุดมอง (station point) คือตำแหน่งที่มอง ถ้าจุดมองอยู่ใกล้วัตถุเกินไปจะทำให้เกิดภาพประหลาดได้

ภาพเพอร์สเปคทีฟมีลักษณะ 3 แบบ  (ภาพที่ 11– 15) คือ

                แบบที่ 1. เพอร์สเปคทีฟจุดเดียว (one - point perspective) หรือแบบขนาน (parallel perspective) จะมีเส้นขนาน 2 ชุด คือชุดที่ 1 จะขนานกับเส้นแผ่นระนาบ และชุดที่ 2 จะตั้งฉากกับเส้นแผ่นระนาบ

                แบบที่ 2.  เพอร์สเปคทีฟ 2 จุด (two - point perspective) จะมีจุดรวมสายตา 2 จุด สำหรับเส้นคู่ขนาน 2 ชุด  แต่ละชุดไปบรรจบที่จุดรวมสายตาของแต่ละจุด

บทสรุป

เพอร์สเปคทีฟเป็นเรื่องของภาพที่มองเห็นด้านต่างๆ ทุกด้าน โดยเฉพาะภาพทิวทัศน์จะเห็นเป็นภาพลึกสมจริงตามธรรมชาติมา  เพอร์สเปคทีฟเป็นการประยุกต์ทางเรขาคณิตภาพฉายซึ่งเป็นสาขาหนึ่งคณิตศาสตร์ มีประโยชน์สำหรับนักคอมพิวเตอร์ที่นำไปใช้เขียนโปรแกรมเกี่ยวกับภาพ 3 มิติ เพื่อช่วยออกแบบโดยเฉพาะด้านการสร้างภาพยนตร์ และการโฆษณา  นอกจากนี้นักเขียนแบบออกแบบมีการใช้เพอร์สเปคทีฟเขียนภาพ  เขียนแบบโครงสร้างอาคาร และเขียนรูปภาพ ซึ่งได้ภาพมองเห็นได้ทุกด้าน 

ที่มา  

http://en.wikipedia.org.

http://studiochalkboard.evansville.edu/lp-ex3.html http://www.ider.herts.ac.uk/school/coursewar  e/graphics/three_point_perspective.html

http://www.termespheres.com/perspective.html

www.senia.com/.../2007/06/perspective.jpg