สมบัติของจำนวนนับ

ตัวประกอบ

ตัวประกอบของจำนวนนับใดๆ คือ จำนวนนับที่หารจำนวนนับนั้นลงตัว

Exercise จงหาตัวประกอบของ 18

Solution จำนวนนับที่หาร 18 ลงตัว ได้แก่ 1,2,3,6,9,18

ดังนั้นตัวประกอบของ 18 คือ 1,2,3,6,9,18

Exercise จงหาตัวประกอบของ 132

Solution จำนวนนับที่หาร 132ลงตัว ได้แก่ 1,132,2,66,3,44,4,33,6,22,11,12

ดังนั้นตัวประกอบของ 132 ได้แก่ 1,2,3,4,6,11,12,22,33,44,66,132

Exercise จงหาตัวประกอบของ 113

Solution จำนวนนับที่หาร 113 ลงตัวมีเพียง 2 จำนวนคือ 1 และ 113

ดังนั้นตัวประกอบของ 113 ได้แก่ 1,113
จำนวนเฉพาะ

จำนวนเฉพาะ หมายถึง จำนวนนับที่มากกว่า 1 ซึ่งมีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 และตัวเอง

Exercise 2 เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะตัวประกอบของ 2 มีเพียง 2 ตัวคือ 1 และ 2

3 เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะตัวประกอบของ 3 มีเพียง 2 ตัว คือ 1 และ 3

7 เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะตัวประกอบของ 7 มีเพียง 2 ตัว คือ 1 และ 7

15 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะตัวประกอบของ 15 มีมากกว่า 2 คือ

1,3,5,15

...ข้อควรจำจ้า...

การหารด้วย 2 ลงตัว จำนวนนับที่มีหลักหน่วยเป็นเลข 0,2,4,6หรือ8 จะหารด้วย 2 ลงตัว

การหารด้วย 3 ลงตัว จำนวนนับใดจะหารด้วย 3ลง ตัว ก็ต่อเมื่อผลบวกของเลขโดดทุก

หลักของจำนวนนับนั้นหารด้วย 3 ลงตัว

เช่น 321 หารด้วย 3 ลงตัว เพราะ 3+2+1 = 6 หารด้วย 3 ลงตัว

1,353 หารด้วย 3 ลงตัว เพราะ 1+3+5+3 = 12 หารด้วย 3 ลงตัว

การหารด้วย 5 ลงตัว จำนวนนับที่มีหลักหน่วยเป็น 0 หรือ 5 จะหารด้วย 5 ลงตัว

...การแยกตัวประกอบ...

ตัวประกอบเฉพาะของจำนวนนับใดๆ หมายถึง ตัวประกอบของจำนวนนับ

นั้นที่เป็นจำนวนเฉพาะ เช่น จงหาตัวประกอบ และตัวประกอบเฉพาะของจำนวนนับต่อ

ไปนี้

Exercise ตัวประกอบของ 72 ได้แก่

Solution ตัวประกอบของ 72 ได้แก่ 1,2,3,4,6,8,12,18,24,36,72

ตัวประกอบเฉพาะของ 72 มีเพียง 2 ตัวคือ 2 และ 3

การแยกตัวประกอบของจำนวนนับใดๆ หมายถึง การเขียนจำนวนนับนั้นใน

รูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะ เช่น

จงแยกตัวประกอบของจำนวนนับในข้อต่อไปนี้

1) 21 = 3 x 7

2) 105 = 3 x 35 = 3 x 5 x 7

3) 1,001 = 7 x143 = 7 x 11 x 13


ที่มา http://www.thaigoodview.com/node/17661

การแปลงทางเรขาคณิต

การเลื่อนขนาน (Translation)

จุดประสงค์ในการเรียนเรื่อง เลื่อนขนาน

เข้าใจเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตในเรื่องการเลื่อนขนานและนำไปใช้ได้
บอกภาพที่เกิดขึ้นจากการเลื่อนขนานและสามารถอธิบายวิธีการที่จะได้ภาพที่ปรากฏ เมื่อกำหนดรูปแบบและภาพนั้นได้
อธิบายลักษณะของรูปที่เกิดขึ้นจากการเลื่อนขนานบนพิกัดฉากได้

ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับจากการเรียนเรื่อง เลื่อนขนาน
ทำให้นักเรียนเข้าใจรูปเหลี่ยมและรูปทรงเรขาคณิตมากขึ้น และนำความรู้ไปใช้หาพื้นที่และปริมาตรของรูปเหลี่ยมและรูปทรงต่างๆ
นักเรียนสามารถพัฒนาศักยภาพทางคณิตศาสตร์ด้วยตนเอง

การเลื่อนขนานต้องมีรูปต้นแบบ ทิศทางและระยะทางที่ต้องการเลื่อนรูป การเลื่อนขนานเป็นการแปลงที่จับคู่จุดแต่ละจุดของรูปที่ได้จากการเลื่อนรูปต้นแบบไปในทางทิศทางใดทิศทางหนึ่งด้วยระยะทางที่กำหนด จุดแต่ละจุดบนรูปที่ได้จากการเลื่อนขนานระยะห่างจากจุดที่สมนัยกันบนรูปต้นแบบเป็นระยะทางเท่ากัน การเลื่อนในลักษณะนี้เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า “สไลด์ (slide)”

การสะท้อน (Reflection)

จุดประสงค์ในการเรียนเรื่อง การสะท้อน
เข้าใจเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตในเรื่องการสะท้อนและนำไปใช้ได้
บอกรูปที่เกิดขึ้นจากการสะท้อนและสามารถอธิบายวิธีการที่จะได้ภาพที่ปรากฏ เมื่อกำหนดรูปแบบและภาพนั้นได้
อธิบายลักษณะของรูปที่เกิดขึ้นจากการสะท้อนบนระนาบพิกัดฉากได้


ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับจากการเรียนเรื่อง การสะท้อน
การสะท้อนต้องมีรูปต้นแบบที่ต้องการสะท้อนและเส้นสะท้อน (reflection line หรือ Mirror line) การสะท้อนรูปข้ามเส้นสะท้อนเสมือนกับการพลิกรูปข้ามเส้นสะท้อนหรือการดูเงา สะท้อนบนกระจกเงาที่วางบนเส้นสะท้อน การสะท้อนเป็นการแปลงที่มีการจับคู่กันระหว่างจุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบกับจุดแต่ละจุดบนรูปสะท้อน โดยที่
1. รูปที่เกิดจากการสะท้อนมีขนาดและรูปร่างเช่นเดิม หรือกล่าวว่ารูปที่เกิดจากการสะท้อนเท่ากันทุกประการกับรูปเดิม
2. เส้นสะท้อนจะแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบกับจุดแต่ละจุดบนรูปสะท้อนที่สมนัยกัน นั่นคือระยะระหว่างจุดต้นแบบและเส้นสะท้อนเท่ากับระยะระหว่างจุดสะท้อนและเส้นสะท้อน

การหมุน (Rotation)

จุดประสงค์ในการเรียนเรื่อง การหมุน
เข้าใจเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตในเรื่องการหมุนและนำไปใช้ได้
บอกภาพที่เกิดขึ้นจากการหมุนรูปต้นแบบได้และสามารถอธิบายวิธีการที่จะได้ภาพที่ปรากฏ เมื่อกำหนดรูปแบบและภาพนั้นได้
อธิบายลักษณะของรูปที่เกิดขึ้นจากการหมุนรูปต้นแบบบนระนาบพิกัดฉากได้


ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับจากการเรียนเรื่อง การหมุน
การหมุนจะต้องมีรูปต้นแบบ จุดหมุนและขนาดของมุมที่ต้องการในรูปนั้น การมุมเป็นการแปลงที่จับคู่จุดแต่ละจุดของรูปที่ได้จากการหมุน โดยที่จุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบเคลื่อนที่รอบจุดหมุนด้วยขนาดของมุมที่กำหนด จุดหมุนจะอยู่นอกรูปหรือบนรูปก็ได้ การหมุนจะหมุนตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกาก็ได้ โดยทั่วไปเมื่อไม่ระบุไว้การหมุนรูปจะเป็นการหมุนทวนเข็มนาฬิกา บางครั้งถ้าเป็นมุมที่เกิดจากการหมุนตามเข็มนาฬิกา ขนาดของมุมอาจใช้สัญลักษณ์ -x๐ หรือ ถ้าเป็นมุมที่เกิดจากการหมุนทวนเข็มนาฬิกา ขนาดของมุมอาจใช้สัญลักษณ์ x๐

การสะท้อนแบบเลื่อน (Glide Reflection)

จุดประสงค์ในการเรียนเรื่อง การสะท้อนแบบเลื่อน
เข้าใจเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตในเรื่องการสะท้อนแบบเลื่อนและนำไปใช้ ได้
บอกภาพที่เกิดขึ้นจากการสะท้อนแบบเลื่อนและสามารถอิบายวิธีการที่จะได้ภาพที่ปรากฏ เมื่อกำหนดรูปแบบและภาพนั้นได้
อธิบายลักษณะของรูปที่เกิดขึ้นจากการสะท้อนแบบเลื่อนบนระนาบพิกัดฉากได้


ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับจากการเรียนเรื่อง การสะท้อนแบบเลื่อน
การสะท้อนแบบเลื่อน เป็นการแปลงอีกชนิดหนึ่ง การสะท้อนแบบเลื่อน ประกอบด้วย การสะท้อนและการเลื่อนที่เกิดขึ้นเป็นลำดับ โดยเกิดจากการสะท้อนก่อนแล้วตามด้วยการเลื่อนขนาน
(สิ่งสำคัญในการสะท้อนแบบเลื่อน คือ แกนสะท้อน ระยะทางและทิศทางในการเลื่อน)


ที่มา http://www.thaigoodview.com/node/26409?page=0%2C0

การหาตำแหน่งที่ของข้อมูล ( เปอร์เซ็นไทล์ )

การหาตำแหน่งหรือลำดับที่ของข้อมูลในแต่ละชุด เช่น นาย A สอบได้ที่ 10 เราไม่สามารถบอกได้ว่าผลการสอบของนาย A เป็นอย่างไรของกลุ่ม ถ้าในกลุ่มของนาย A มีนักเรียน 45 คน ก็สรุปว่านาย A เป็นคนเก่งในกลุ่ม ถ้าในกลุ่มมีเพียง 10 คน ก็สรุปว่านาย A เป็นคนที่เรียนไม่เก่ง และสอบได้ที่สุดท้าย เพื่อช่วยให้การกล่าวถึงตำแหน่งเป็นไปโดยมีความหมาย คือ สามารถบอกได้ทันที่ว่าตำแหน่งนั้นดีไม่ดีเพียงไรในกลุ่ม จึงได้มีการหาวิธีการบอกตำแหน่งโดย บอกตำแหน่งด้วย ควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์
เปอร์เซ็นไทล์ เป็นค่าที่แบ่งข้อมูลออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆกัน เมื่อข้อมูลถูกเรียงจากน้อยไปหามาก เนื่องจากค่าที่แบ่งจำนวนข้อมูลออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆกัน มีอยู่ 99 ค่า ดังนั้นเราจึงตั้งชื่อแต่ละค่าว่า
เปอร์เซ็นไทล์ที่หนึ่ง ใช้สัญลักษณ์ P1 คือค่าที่มีจำนวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ 1 ใน100 ของข้อมูลทั้งหมด
เปอร์เซ็นไทล์ที่สอง ใช้สัญลักษณ์ P2 คือค่าที่มีจำนวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ 2 ใน100 ของข้อมูลทั้งหมด
จะมีลักษณะเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนถึงเปอร์เซ็นไทล์ที่เก้าสิบเก้า ใช้สัญลักษณ์ P99
การหาเปอร์เซ็นไทล์ ก็เช่นเดียวกับการหาควอร์ไทล์และเดไซล์ คือต้องหาตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ก่อน ให้ N เป็นจำนวนข้อมูลหรือความถี่ทั้งหมด

1.กรณีที่ข้อมูลยังไม่แจกแจงความถี่
ตำแหน่งของ P1 คือตำแหน่งที่ ( N + 1)( 1/100 )
ตำแหน่งของ P2 คือตำแหน่งที่ ( N + 1)( 2/100 )
จะมีลักษณะเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนถึงตำแหน่งของ P99 คือตำแหน่งที่ ( N + 1)( 99/100 )
โดยทั่วไป ตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ที่ r คือ
ตำแหน่งของ Pr คือตำแหน่งที่ ( N + 1 )( r/100 )

2.กรณีที่ข้อมูลแจกแจงความถี่
ตำแหน่งของ P1 คือตำแหน่งที่ N( 1/100 )
ตำแหน่งของ P2 คือตำแหน่งที่ N( 2/100 )
จะมีลักษณะเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนถึงตำแหน่งของ P99 คือตำแหน่งที่ N( 99/100 )
โดยทั่วไป ตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ที่ r คือ
ตำแหน่งของ Pr คือตำแหน่งที่ ( Nr/100 )

หมายเหตุ การหาเปอร์เซ็นไทล์ เราจะใช้ในกรณีที่มีข้อมูลดังกล่าวมีจำนวนมากๆ เพราะว่าเปอร์เซ็นไทล์เป็นค่าที่แบ่งจำนวนข้อมูลออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆกัน ดังนั้นในกรณีที่ข้อมูลมีจำนวนน้อยไม่เหมาะที่จะหา
เปอร์เซ็นไทล์ควรจะไปใช้ควอร์ไทล์ หรือ เดไซล์จะดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1 ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 44 คน ได้คะแนนเรียงตามลำดับดังนี้ 11, 12, 13, 18, 19, 24, 27, 28, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35, 35, 36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 41, 41, 42, 43, 44, 45, 45, 46, 47, 50, 54, 54, 55, 55, 56, 46, 56, 58, 58, 59, 60 จงหาเปอร์เซ็นไทล์ที่ 75
วิธีทำ

Pr อยู่ในตำแหน่งที่ คือ ( N + 1 )( r /100 )

P75 อยู่ในตำแหน่งที่ คือ (44 + 1)( 75/100 ) = 33.5

ตำแหน่งที่ 33 ของข้อมูลข้างต้น คือ 50
ตำแหน่งที่ 34 ของข้อมูลข้างต้น คือ 54
ตำแหน่งต่างกัน 1 ค่าของเปอร์เซ็นไทล์ต่างกัน 4
ตำแหน่งต่างกัน 0.75 ค่าเปอร์เซ็นไทล์ต่างกัน 4 x 0.75 = 3

ดังนั้น ค่าเปอร์เซ็นไทล์ ที่ 75 เท่ากับ 53


ตัวอย่างที่ 2 กำหนดข้อมูล 30, 42, 25, 34, 28, 36, 33, 44, 18 จงหาว่าข้อมูลที่มีค่า 30 อยู่ในตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใด
วิธีทำ เรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก ได้ 18 , 25 , 28 , 30 , 33 , 34 , 36 , 42 , 44 ให้ข้อมูลที่มีค่า 30 อยู่ในตำแหน่ง ที่ r ดังนั้น 30 เท่ากับ Pr ข้อมูลที่มีค่า 30 อยู่ในตำแหน่งที่ 4

แต่ตำแหน่ง Pr = ( 9 + 1 )( r/100 ) ได้ 10r/100 = 4
ดังนั้น r = 40

ดังนั้น ข้อมูลที่มีค่า 30 อยู่ในตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 40 หรือ P40

สรุป ขั้นตอนการหาค่าเปอร์เซ็นไทล์ของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น
1. เรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก
2. หาตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ โดย ตำแหน่ง Pr คือ ( N + 1 )( r/100 )

ใช้ตำแหน่ง Pr เทียบบัญญัติไตรยางค์หาข้อมูลที่ตรงกับตำแหน่ง Pr นั้น

การให้เหตุผล

การให้เหตุผลแบ่งได้ 2 แบบดังนี้
1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย
2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย


1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย

การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นการให้เหตุผลโดยอาศัยข้อสังเกตหรือผลการทดลองจากหลาย ๆ ตัวอย่าง มาสรุปเป็นข้อตกลง หรือข้อคาดเดาทั่วไป หรือคำพยากรณ์ ซึ่งจะเห็นว่าการจะนำเอาข้อสังเกต หรือผลการทดลองจากบางหน่วยมาสนับสนุนให้ได้ข้อตกลง หรือ ข้อความทั่วไปซึ่งกินความถึงทุกหน่วย ย่อมไม่สมเหตุสมผล เพราะเป็นการอนุมานเกินสิ่งที่กำหนดให้ ซึ่งหมายความว่า การให้เหตุผลแบบอุปนัยจะต้องมีกฎของความสมเหตุสมผลเฉพาะของตนเอง นั่นคือ จะต้องมีข้อสังเกต หรือผลการทดลอง หรือ มีประสบการณ์ที่มากมายพอที่จะปักใจเชื่อได้ แต่ก็ยังไม่สามารถแน่ใจในผลสรุปได้เต็มที่ เหมือนกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าการให้เหตุผลแบบนิรนัยจะให้ความแน่นอน แต่การให้เหตุผลแบบอุปนัย จะให้ความน่าจะเป็น

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย เช่น เราเคยเห็นว่ามีปลาจำนวนมากที่ออกลูกเป็นไข่เราจึงอนุมานว่า "ปลาทุกชนิดออกลูกเป็นไข่" ซึ่งกรณีนี้ถือว่าไม่สมเหตุสมผล ทั้งนี้เพราะ ข้อสังเกต หรือ ตัวอย่างที่พบยังไม่มากพอที่จะสรุป เพราะโดยข้อเท็จจริงแล้วมีปลาบางชนิดที่ออกลูกเป็นตัว เช่น ปลาหางนกยูง เป็นต้น

โดยทั่วไปการให้เหตุผลแบบอุปนัยนี้ มักนิยมใช้ในการศึกษาค้นคว้าคุณสมบัติต่าง ๆ ทางด้านวิทยาศาสตร์ เช่น ข้อสรุปที่ว่า สารสกัดจากสะเดาสามารถใช้เป็นยากำจัดศัตรูพืชได้ ซึ่งข้อสรุปดังกล่าวมาจากการทำการทดลอง ซ้ำ ๆ กันหลาย ๆ ครั้ง แล้วได้ผลการทดลองที่ตรงกันหรือในทางคณิตศาสตร์จะใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย ในการสร้างสัจพจน์ เช่น เมื่อเราทดลองลากเส้นตรงสองเส้นให้ตัดกัน เราก็พบว่าเส้นตรงสองเส้นจะตัดกันเพียงจุด ๆ เดียวเท่านั้น ไม่ว่าจะทดลองลากกี่ครั้งก็ตาม เราก็อนุมานว่า "เส้นตรงสองเส้นตัดกันเพียงจุด ๆ เดียวเท่านั้น"

ตัวอย่าง 1.

เมื่อเรามองไปที่ห่านกลุ่มหนึ่งพบว่า
ห่านตัวนี้สีขาว
ห่านตัวนั้นก็สีขาว
ห่านตัวโน้นก็สีขาว
ห่านนั้นก็สีขาว
ดังนั้น ห่านทุกตัวคงจะต้องมีสีขาว

ตัวอย่าง 2

ในการบวกเลข 2 จำนวน เราพบว่า
1+2 = 2+1
2+3 = 3+2
…………
…………
เราอาจสรุปได้ว่าทุกๆจำนวน a และ b จะได้ว่า a + b = b + a

ตัวอย่าง 3

จากการสร้างรูปสามเหลี่ยมในระนาบ พบว่า
เส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยมรูป A พบกันที่จุดๆหนึ่ง
เส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยมรูป B พบกันที่จุดๆหนึ่ง
เส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยมรูป C พบกันที่จุดๆหนึ่ง
ดังนั้น เส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยมใดๆ พบกันที่จุดๆหนึ่งเสมอ


ข้อสังเกต

1.ข้อสรุปของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจจะไม่จริงเสมอไป

2. การสรุปผลของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจขึ้นอยู่กับประสบการณ์ของผู้สรุป

3. ข้อสรุปที่ได้จากการให้เหตุผลแบบอุปนัยไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน

ตัวอย่าง กำหนด จำนวน 2, 4, 6 , a จงหา จำนวน a จะได้ a = 8
กำหนด จำนวน 2, 4, 6 , a จงหา จำนวน a
จะได้ a = 10 เพราะว่า 4 + 6 = 10
กำหนด จำนวน 2, 4, 6 , a จงหา จำนวน a จะได้ a = 22
เพราะว่า 6 = (2 x 4)-2 และ 22 = (4 x 6)-2

4. ข้อสรุปของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจ ผิดพลาดได้

ตัวอย่าง ให้ F(n) = n2 - 79n + 1601

ทดลองแทนค่าจำนวนนับ n ใน F(n)
n = 1 ได้ F(1) = 1523 เป็นจำนวนเฉพาะ
n = 2 ได้ F(2) = 1447 เป็นจำนวนเฉพาะ
n = 3 ได้ F(3) = 1373 เป็นจำนวนเฉพาะ

F(n) = n2 - 79n + 1601

แทนค่า n ไปเรื่อยๆ จนกระทั่งแทน n = 79 ได้ F(79) เป็นจำนวนเฉพาะ

จากการทดลองดังกล่าว อาจสรุปได้ว่า n2 - 79n + 1601 เป็นจำนวนเฉพาะ สำหรับทุกจำนวนนับ แต่...
F(n) = n2 - 79n + 1601
F(80) = 802 - (79)(80) + 1601
= 1681
= (41)(41)

F(80) ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย

เป็นการนำความรู้พื้นฐานที่อาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฏ หรือบทนิยาม ซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อนและยอมรับว่าเป็นจริง เพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป



ตัวอย่าง 1

มนุษย์ทุกคนเป็นสิ่งมีชีวิต และ นายแดงเป็นมนุษย์คนหนึ่ง
เพราะฉะนั้น นายแดงจะต้องเป็นสิ่งมีชีวิต


ตัวอย่าง 2

ปลาโลมาทุกตัวเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม และสัตว์เลี้ยงลูกด้วย
นม ทุกตัวมีปอด
ดังนั้น ปลาโลมาทุกตัวมีปอด

ตัวอย่าง 3

แมงมุมทุกตัวมี 6 ขา และสัตว์ที่มี 6 ขา ทุกตัวมีปีก
ดังนั้น แมงมุมทุกตัวมีปีก


ตัวอย่าง 4

ถ้านายดำถูกล๊อตเตอรี่รางวัลที่หนึ่ง นายดำจะมีเงินมากมาย
แต่นายดำไม่ถูกล๊อตเตอรี่รางวัลที่หนึ่ง
ดังนั้น นายดำมีเงินไม่มาก

ถ้าผลสรุปตามมาจากเหตุที่กำหนดให้ เรียกว่า ผลสรุปสมเหตุสมผล แต่ถ้าผลสรุปไม่ได้มาจากเหตุที่กำหนดให้ เรียกว่า ผลสรุปไม่สมเหตุสมผล

ตัวอย่างผลสรุปสมเหตุสมผล

เหตุ ปลาวาฬทุกตัวเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม
และสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมทุกตัวมีปอด
ผล ดังนั้นปลาวาฬทุกตัวมีปอด

ข้อสังเกต เหตุเป็นจริง และ ผลเป็นจริง

เหตุ แมงมุมทุกตัวมี 6 ขา
และสัตว์ที่มี 6 ขา ทุกตัวมีปีก
ผล ดังนั้นแมงมุมทุกตัวมีปีก

ข้อสังเกต เหตุเป็นเท็จ และ ผลเป็นเท็จ

เหตุ ถ้านายดำถูกล๊อตเตอรี่รางวัลที่หนึ่ง
นายดำจะมีเงินมากมาย
แต่นายดำไม่ถูกล๊อตเตอรี่รางวัลที่หนึ่ง
ผล ดังนั้นนายดำมีเงินไม่มาก

ข้อสังเกต เหตุอาจเป็นจริงและผลอาจเป็นเท็จ

ข้อสังเกต ผลสรุปสมเหตุสมผลไม่ได้ประกันว่าข้อสรุปจะต้องเป็นจริงเสมอไป

วิธีการตรวจสอบว่าผลสรุปสมเหตุสมผลใช้แผนภาพของ เวนน์ - ออยเลอร์

โดยวาดแผนภาพตามเหตุทุกกรณีที่เป็นไปได้แล้วพิจารณาว่าแผนภาพแต่ละกรณีแสดงผลสรุปตามที่กำหนดให้หรือไม่ ถ้าทุกแผนภาพแสดงผลสรุปตามที่กำหนดกล่าวว่า “ผลสรุปสมเหตุสมผล” แต่ถ้ามีบางแผนภาพไม่แสดงผลสรุปตามที่กำหนดให้จะกล่าวว่า “ผลสรุปไม่สมเหตุสมผล”


ตัวอย่างของข้อความและแผนภาพที่แสดงความหมายของข้อความที่ใช้ในการอ้างเหตุผลทั้งสี่แบบ ที่ใช้ในการอ้างเหตุผลส่วนใหญ่ ได้แก่

ตัวอย่าง 1 สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B

ข้อความ สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมเป็นสัตว์เลือดอุ่น
จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้

ตัวอย่าง 2 ไม่มีสมาชิกตัวใดของ A เป็นสมาชิกของ B

ข้อความ ไม่มีไก่ตัวใดมีนม
จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้

ตัวอย่าง 3 มีสมาชิกบางตัวของ A เป็นสมาชิกของ B

ข้อความ รถโดยสารบางคันเป็นรถปรับอากาศ
จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้

ตัวอย่าง 4 มีสมาชิกบางตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B

ข้อความ รถโดยสารบางคันไม่ได้เป็นรถปรับอากาศ
จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้

ที่มา http://www.thaigoodview.com/node/18026

เรขาคณิตสองมิติและสามมิติ

เรขาคณิตสองมิติและสามมิติ

ในการดำรงชีวิตของมนุษย์ตั้งแต่ในอดีตจนถึงปัจจุบัน มีการนำความสัมพันธ์ของรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติมาใช้ เช่น การนำใบตองมาห่อหรือพับเป็นกระทงเพื่อใส่ขนม การใช้ผ้าห่อของหรือสัมภาระต่าง ๆ การนำกระดาษมาห่อของขวัญ ในเทศกาลต่าง ๆ เป็นต้น นักเรียนบางคนอาจจะเคยส่งของให้เพื่อนทางไปรษณีย์ จะสังเกตได้ว่ากล่องบรรจุพัสดุที่ได้รับจากเจ้าหน้าที่มานั้น ต้องพับให้เป็นรูปกล่องเสียก่อนจึงจะใส่ของลงไปได้ สิ่งต่าง ๆ เหล่านี้ล้วนเป็นความสัมพันธ์ของรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติทั้งสิ้น

รูปเรขาคณิตสองมิติ

1. รูปสามเหลี่ยม เช่น

2. รูปสี่เหลี่ยม เช่น

3. รูปหลายเหลี่ยม เช่น

4. รูปอื่น ๆ

รูปเรขาคณิตสองมิติ

1. ปริซึม เช่น

2. พีระมิด เช่น

ที่มา http://www.thaigoodview.com/node/17230

ความน่าจะเป็น

ในชีวิตประจำวันเราอยู่กับเหตุการณ์ต่าง ๆ และมีคำถามอยู่ในใจตลอดเวลา เช่น
พรุ่งนี้ฝนจะตกหรือไม่
บางทีเราต้องไปทำงานวันนี้
นายกอาจลาออกและยุปสภาเร็ว ๆ นี้
ทีมฟุตบอลทีมใดจะได้เป็นแชมป์โลก
ใครชนะเลือกตั้งในสมัยหน้า
คำว่า "ความน่าจะเป็น" หรือ "probability" เป็นวิธีการวัดความไม่แน่นอนในรูปแบบคณิตศาสตร์ เช่น เมื่อโยนเหรียญ ความน่าจะเป็นของเหรียญที่จะออกหัวหรือก้อยเท่ากับ 0.5
ดังนั้นเหตุการณ์ต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในอาณาคตเป็นสิ่งที่ยากจะคาดเดาได้ถูกต้องร้อยเปอร์เซนต์ นักอุตุนิยมวิทยาจึงใช้หลักการของความน่าจะเป็นเข้ามาทำนาย เช่น ความน่าจะเป็นของการเกิดฝนตกใน กรุงเทพมหานคร ในวันพรุ่งนี้มีค่าเท่ากับ 0.7
ความน่าจะเป็น เป็นค่าที่อาจมีความหมายที่หลายคนเข้าใจได้ไม่ยาก ความน่าจะเป็น เป็นศาสตร์ที่มีความละเอียดอ่อนที่จะนำไปประยุกต์ใช้ โดยเฉพาะเหตุการณ์ในชีวิตประจำวันต่าง ๆ ความน่าจะเป็นมีการกำหนดค่าเป็นเศษส่วนหรือเป็นเปอร์เซนต์หรือให้มีค่าระหว่าง 0 ถึง 1 เช่น ถ้านำลูกเต๋า ทอยลงบนพื้น โอกาสที่จะปรากฎหน้า 1 มีค่าเท่ากับ 1/6 หรือ 16.6 เปอร์เซนต์ ถ้าโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ และให้ตกบนพื้น (โยนแบบยุติธรรม) โอกาสที่จะปรากฏหัวเท่ากับ 1/2 หรือ 0.5 เราจะวัดหาค่าความน่าจะเป็นได้อย่างไร?
เราสามารถวัดหาค่าความน่าจะเป็นได้สองวิธี (บางทีเป็น 3 วิธี) ขึ้นกับสภาวะแวดล้อม
เมื่อเหตุการณ์ปรากฏมีลักษณะเหมือน ๆ กัน
สมมุติว่าเราทอยเหรียญจะมีโอกาสที่เป็นไปได้สองแบบคือ หัว หรือก้อย ถ้าเหรียญเป็นเหรีญญปกติ การทอยทอยอย่างยุติธรรม ผลที่เกิดหัวหรือก้อยมีลักษณะเท่าเทียมกัน
ทำนองเดียวกันที่เราทอยลูกเต๋า โอกาสที่ลูกเต๋าจะปรากฎหน้า 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 มีได้เท่ากัน ดังนั้นความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋าให้ปรากฎหน้าที่เป็นเลขคู่
ประชากรคนไทยยังนิยมการเสี่ยงโชค รัฐบาลได้ออกฉลากกินแบ่งหรือที่รู้จักกันในนามลอตเตอรี่ หรือ หวยรัฐบาล ตัวเลขของฉลากกินแบ่ง มี 6 ตัวเลข ซึ่งก็มีจำนวนฉลากทั้งสิ้น 1 ล้าน ฉบับ มีรางวัลที่หนึ่งมี 1 รางวัล รางวัลที่สอง มี 5 รางวัล รางวัลที่สามมี 10 รางวัล รางวัลที่สี่มี 50 รางวัล รางวัลที่ห้ามี 100 รางวัล
โอกาสที่จะถูกรางวัลที่หนึ่ง คือ
โอกาสที่จะถูกรางวัลที่ 1 ถึง 5 มี
ดังนั้นถ้าเหตุการณ์ที่ปรากฎแต่ละครั้งมีโอกาสเท่าเทียมกับสิ่งที่เป็นความน่าจะเป็นคือ
ลักษณะที่กล่าวมานี้เห็นว่าโอกาสหรือสิ่งที่เป็นเหตุการณ์แต่ละครั้งที่ปรากฎ จะมีโอกาสความน่าจะเป็นเท่ากัน ลักษณะจึงเหมือนการทอยเหรียญ ลูกเต๋า หรือการซื้อลอตเตอรี่ ทุกครั้งที่มีเหตุการณ์เกิดขึ้นขึงมีความน่าจะเป็นที่ชัดเจน
เมื่อเหตุการณ์ปรากฏมีลักษณะเหมือน ๆ กัน
สมมุติว่าเราทอยเหรียญจะมีโอกาสที่เป็นไปได้สองแบบคือ หัว หรือก้อย ถ้าเหรียญเป็นเหรีญญปกติ การทอยทอยอย่างยุติธรรม ผลที่เกิดหัวหรือก้อยมีลักษณะเท่าเทียมกัน
ทำนองเดียวกันที่เราทอยลูกเต๋า โอกาสที่ลูกเต๋าจะปรากฎหน้า 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 มีได้เท่ากัน ดังนั้น ความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋าให้ปรากฎหน้าที่เป็นเลขคู่
ประชากรคนไทยยังนิยมการเสี่ยงโชค รัฐบาลได้ออกฉลากกินแบ่งหรือที่รู้จักกันในนามลอตเตอรี่ หรือ หวยรัฐบาล ตัวเลขของฉลากกินแบ่ง มี 6 ตัวเลข ซึ่งก็มีจำนวนฉลากทั้งสิ้น 1 ล้าน ฉบับ มีรางวัลที่หนึ่งมี 1 รางวัล รางวัลที่สอง มี 5 รางวัล รางวัลที่สามมี 10 รางวัล รางวัลที่สี่มี 50 รางวัล รางวัลที่ห้ามี 100 รางวัล
โอกาสที่จะถูกรางวัลที่หนึ่ง คือ
โอกาสที่จะถูกรางวัลที่ 1 ถึง 5 มี
ดังนั้นถ้าเหตุการณ์ที่ปรากฎแต่ละครั้งมีโอกาสเท่าเทียมกับสิ่งที่เป็นความน่าจะเป็นคือ
ลักษณะที่กล่าวมานี้เห็นว่าโอกาสหรือสิ่งที่เป็นเหตุการณ์แต่ละครั้งที่ปรากฎ จะมีโอกาสความน่าจะเป็นเท่ากัน ลักษณะจึงเหมือนการทอยเหรียญ ลูกเต๋า หรือการซื้อลอตเตอรี่ ทุกครั้งที่มีเหตุการณ์เกิดขึ้นขึงมีความน่าจะเป็นที่ชัดเจน


ที่มา http://www.panyathai.or.th/wiki/index.php/%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%99%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%88%E0%B8%B0%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B9%87%E0%B8%99

การแก้สมการ

การแก้สมการ คือ การหาคำตอบของสมการ หรือการหาค่าของตัวแปรซึ่งทำให้สมการนั้นเป็นจริง
คำสั่งที่ใช้ในการแก้สมการ นิยมใช้คำสั่งดังนี้
จงแก้สมการ 5x + 2 = 17
จงหาคำตอบของสมการ 5x + 2 = 17
จงหาค่าของ x ที่ทำให้สมการ 5x + 2 = 17 เป็นจริง
จากสมการ 5x + 2 = 17 จงหาค่าของตัวแปร

การแก้สมการทำได้ 2 วิธีดังนี้
การแทนค่าตัวแปร
การใช้คุณสมบัติของการเท่ากัน

การแทนค่าตัวแปร

โดยการทดลองแทนค่าของตัวแปรในสมการ ถ้านำจำนวนใดมาแทนค่าของตัวแปรในสมการนั้น แล้วทำให้สมการนั้นเป็นจริง แสดงว่าจำนวนนั้นเป็นคำตอบของสมการ และถ้านำจำนวนใดมาแทนค่าของตัวแปรในสมการนั้น แล้วทำให้สมการเป็นเท็จ แสดงว่าจำนวนนั้นไม่เป็นคำตอบของสมการ ดังตัวอย่าง

สมการ y + 6 = 21 แทน y ด้วย 15
จะได้ 15 + 6 = 21 สมการเป็นจริง
ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ 15

สมการ 5x + 2 = 17 แทน x ด้วย 3
จะได้ ( 5 x 3 ) + 2 = 17
15 + 2 = 17 สมการเป็นจริง
ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ 3

ถ้าสมการนั้น ๆ สลับซับซ้อน เราจึงใช้คุณสมบัติของการเท่ากันในการหาคำตอบ


การใช้คุณสมบัติของการเท่ากัน

โดยการนำคุณสมบัติการเท่ากันในเรื่อง การบวก การลบ การคูณ การหาร มาใช้ในการแก้สมการ (นักเรียนคลิกไปดูคุณสมบัติได้นะครับ) ดูวิธีการในตัวอย่างต่อไปนี้

จงแก้สมการ x - 12 = 18
วิธีทำ x - 12 = 18
นำ 12 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
x - 12 + 12 = 18 + 12 (คุณสมบัติการบวก)
x = 30
ตรวจสอบคำตอบ โดยการแทนค่า x ด้วย 30
ในสมการ x - 12 = 18
จะได้ 30 - 12 = 18 สมการเป็นจริง
ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ 30

จงแก้สมการ 7x + 8 = 36
วิธีทำ 7x + 8 = 36
นำ 8 มาลบทั้งสองข้างของสมการ
7x + 8 - 8 = 36 - 8 (คุณสมบัติการลบ)
7x = 28
นำ 7 มาหารทั้งสองข้างของสมการ
(คุณสมบัติการหาร)
x = 4
ตรวจสอบคำตอบ โดยการแทนค่า x ด้วย 4
ในสมการ 7x + 8 = 36
จะได้ (7 x 4) + 8 = 36
28 + 8 = 36 สมการเป็นจริง
ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ 4


ที่มา http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/ratchaburi/winai_a/sec03p01.html

เทคนิคการสอนคณิตศาสตร์ เคล็ดลับสำหรับเด็กเกลียดเลข

1.ใช้การละเล่นพื้นบ้าน ใช้เกมการละเล่นพื้นบ้านมาสอนเด็ก ซึ่งจะสอนเรื่องการเปรียบเทียบ การวัดระยะทาง การบวกลบคูณหาร

2.สอนเทคนิคการอ่านโจทย์เลข เด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้จะอ่านโจทย์เลขไม่ได้ ซึ่งจะอ่านไม่เข้าใจ ไม่รู้ว่าโจทย์ถามอะไร หมายความอย่างไร เมื่ออ่านโจทย์ไม่ได้ก็จะส่งผลถึงการคิดเลขด้วย ซึ่งเราจะใช้วิธีการทางกราฟิกเข้ามาช่วยในการอ่านโจทย์ปัญหา

3.ใช้ศิลปะเข้ามาช่วย เน้นคำถามเชิงเปรียบเทียบและคำถามเชิงเหตุผลแต่ใช้ศิลปะเข้ามาช่วย เราอาจจะสอนเด็กด้วยการปั้นหุ่นยนต์ซึ่งอาจจะมีอุปกรณ์เป็นดินน้ำมันหรือแป้งโด กระดาษ จากนั้นคุณครูอาจบอกว่า มีแป้งโดกับกระดาษ และถ้านำของสองสิ่งนี้ไปวางที่ประตูแล้วมีลมพัดมา นักเรียนคิดว่าระหว่างแป้งโดกับกระดาษอะไรจะปลิวไป นักเรียนที่มีปัญหาด้านความบกพร่องทางการเรียนรู้จะเปรียบเทียบไม่ได้ว่าอะไรหนักหรือเบากว่ากัน ลักษณะการสอนเช่นนี้เป็นการสอนเปรียบเทียบและต้องสอนต่อว่าถ้ากระดาษปลิวเพราะอะไร

4.การอ่านการ์ตูน เราต้องทำเป็นเรื่องราวสอนเกี่ยวกับตัวเลข บวก ลบ คูณหารเด็กจะสนุกกับภาพการ์ตูนและจะเรียนรู้ได้มากขึ้น

5.การเล่นบทบาทสมมติ อาจจะให้เด็กนักเรียนในชั้นออกมานับหนังสือ 20 เล่ม จากนั้นให้เพื่อนออกมาหน้าชั้นเรียนอีก 5 คน นักเรียนคิดว่าจะได้คนละกี่เล่ม จากนั้นเด็กก็จะเริ่มแจกจนหนังสือหมด แล้วเด็กจะได้คำตอบเป็นการสอนเรื่องการหาร

6.เกม ซึ่งจะใช้เกมเศรษฐีและการทอยลูกเต๋า เป็นการสอนเรื่องตัวเลข เด็กจะรู้ว่าแต้มไหนมากกว่าแต้มไหนน้อยกว่า การสอนวิชาการเพียงอย่างเดียวจะใช้ไม่ได้ผลกับเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ เด็กจะชอบความสนุกต้องออกแบบการเรียนการสอนที่เน้นทั้งการเรียนและการเล่นให้อยู่ด้วยกัน การเรียนลักษณะนี้เป็นรูปธรรมชัดเจน เด็กจะเข้าใจง่ายเรียนรู้ได้เร็ว สิ่งที่น่าห่วงก็คือ ครูไทยบางคนไม่ชอบการปรับการเรียนการสอน บางคนติดอยู่กับขั้นตอนมากเกินไป และจะไม่สนุกในการทำกิจกรรมกับเด็กแต่ถ้าเป็นครูที่เข้าใจและสอนไปเล่นไปก็จะสอนเด็กกลุ่มนี้ได้ดี "ณ ปัจจุบันนี้คิดว่าพอจะมีครูที่เข้าใจเด็กและสอนด้วยความเข้าใจว่าเด็กมีความหลากหลาย ต้องปรับวิธีการสอนให้หลากหลายมากขึ้น คิดว่ามีมากขึ้นกว่าในอดีต และวิธีการสอนเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ก็เป็นอีกวิธีการหนึ่งที่ครูไทยควรจะได้เรียนรู้เพื่อปรับใช้ในการสอนต่อไป”

ที่มา http://sukrutai.blogspot.com/2007/12/blog-post_2121.html

ความคิดของนักคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจ

จากที่กล่าวมาแล้วว่า จุดเริ่มต้นของคณิตศาสตร์มาจากการนับ ราวประมาณ 2000 ก่อนคริสต์ศักราช ชาวบาลิโลเนียได้เริ่มพัฒนาความคิดทางคณิตศาสตร์ มีการนับตัวเลข การแบ่งหน่วย มีลักษณะเป็นเลขจำนวนเต็ม และแบ่งส่วนย่อยมีฐาน 60 ดังที่ใช้มาในเรื่องเวลาจนถึงปัจจุบัน การคิดคำนวณเกี่ยวกับตัวเลขที่รู้จักกันดีคือ ทฤษฎีบทพีธากอรัส ที่รู้จักและรวบรวมพิสูจน์โดยพีธากอรัส ก็มีการคิดคำนวณกันมาประมาณ 1700 ก่อนคริสตกาล แล้ว ในช่วงเวลานั้นชาวบาบิโลเนียก็รู้จักวิธีการแก้สมการเชิงเส้น และสมการกำลังสอง ซึ่งเป็นต้นแบบสำหรับวิชาพีชคณิตในเวลาต่อมาชาวกรีกมีการศึกษาทางด้านคณิตศาสตร์อย่างต่อเนื่อง โดยเฉพาะปัญหาทางด้านเรขาคณิต โดยเฉพาะการหาขนาดพื้นที่และปริมาตรของรูปทรงเรขาคณิต และผลที่น่าสนใจคือ การคำนวณหาค่าของ ชาวกรีกยังรับเอาวิทยาการต่าง ๆ ของยุคบาบิโลเนีย จนถึงยุคกรีกในช่วงเวลาประมาณ 450 ก่อนคริสตกาลชาวกรีกโบราณได้ศึกษาค้นคว้าเกี่ยวกับรูปตัดกรวย เป็นผลของการศึกษาที่เกี่ยวโยง เพื่อการค้นคว้าทางดาราศาสตร์ และทำให้เกิดวิชาตรีโกณมิติ ขณะที่วิทยาการทางคณิตศาสตร์ที่กรีก กำลังรุ่งเรือง ประเทศในกลุ่มอิสลามซึ่งได้แก่ อิหร่าน ซีเรีย และอินเดีย ก็มีการพัฒนาและศึกษาวิชาการทางด้านคณิตศาสตร์ ต่อจากนั้นวิทยาการทางด้านคณิตศาสตร์ก็แพร่กลับไปยังยุโรป ทำให้มีการพัฒนาการต่อเนื่องไปศตวรรษที่สิบแปด วิทยาการทางคณิตศาสตร์ในยุโรป เริ่มขึ้นในราวศตวรรษที่ 16 ซึ่งในช่วงนั้นมีนักคณิตศาสตร์หลายคนที่ทำการศึกษาค้นคว้าทางพีชคณิต และต่อเนื่องมากในหลักการทางแคลคูลัส ระหว่างศตวรรษที่ 17 ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไปในทางที่ก้าวหน้าอย่างรวดเร็ว โดยเน้นไปในทางเรขาคณิตและแคลคูลัส เพื่อให้เห็นแนวคิดที่สำคัญของการพัฒนาที่สำคัญเกี่ยวข้องกับนักคณิตศาสตร์ผู้ซึ่งมีบทบาทที่สำคัญต่อแนวคิด

ที่มา http://sukrutai.blogspot.com/2007/12/blog-post_26.html