ประวัติทางคณิตศาสตร์
ประมาณ ค.ศ.1415 ฟิลิปโป บรูเนลเลสคิ (Filippo Brunelleschi : 1377 – April 15, 1446) (ภาพที่ 1) นักสถาปัตยกรรมที่มีชื่อเสียงของอิตาลีในสมัยฟื้นฟูศิลปวิทยา (Renaissance) ได้แสดงวิธีการทางเรขาคณิตที่เรียกว่าเพอร์สเปคทีฟซึ่งศิลปินได้นำมาใช้ในการเขียนแบบและเขียนภาพ การแสดงของเขาคือการวาดโครงร่างของสิ่งก่อสร้างในสไตล์ศิลปะของเมืองฟลอเรนซ์ (Florentine) ลงบนกระจก เมื่อโครงร่างของภาพวาดได้ถูกต่อเติมเขาสังเกตเห็นว่าเส้นตรงทั้งหลายได้ลู่เข้าสู่เส้นแนวนอน และเขายังได้พบข้อเท็จจริงว่าภาพเขียนบนกระจกของสถานที่ในโบสถ์ที่ยังไม่มีประตูเข้าออกของโบสถ์ เมื่อมองลอดรูเล็กๆ ออกไปทางข้างหลังของภาพจะเห็นเป็นภาพภายในโบสถ์ จึงเกิดแนวคิดของความรู้ทางเพอร์สเปคทีฟ (ตัวอย่างในภาพที่ 2)
นักศิลปะของของอิตาลีในสมัยฟื้นฟูศิลปวิทยาได้ใช้ความรู้เรขาคณิตแบบเพอร์สเปคทีฟในงานเขียนโดยเฉพาะการเขียนภาพต่างๆ ตามวิหาร โบสถ์ และสิ่งก่อสร้างอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ภาพวาดของ ปิเอโตร เปอรูกิโน (Pietro Perugino) แสดงสถาปัตยกรรมที่ตั้งตระหง่านในพื้นที่สี่เหลี่ยมตารางหมากรุกที่เป็นจุดเริ่มต้นของศาสนาคริสต์ (ภาพที่ 3) พื้นสี่เหลี่ยมกระดานหมากรุกนี้เป็นหลักการเบื้องต้นของเรขาคณิตแบบเพอร์สเปคทีฟ เส้นตรงเหล่านี้ลู่เข้าสู่จุดสิ้นสุด และมีอัตราส่วนแนวนอนถอยเข้าหาจุดลู่เข้าด้วยระยะทางทางเรขาคณิตที่สามารถกำหนดได้ นี่กลายเป็นส่วนหนึ่งของศิลปะของการออกแบบภาพ แนวทางของเพอร์สเปคทีฟ เป็นการเขียนภาพที่เริ่มต้นจากจุดเดี่ยวๆ ที่มองเห็นและขยายไปยังส่วนประกอบอื่นๆ ของสิ่งของ
การใช้เพอร์สเปคทีฟเขียนภาพในสมัยฟื้นฟูศิลปวิทยาเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว ฟิลิปโป บรูเนลเลสคิ เป็นคนแรกที่เข้าใจเพอร์สเปคทีฟ โดยมีเพื่อนนักคณิตศาสตร์อีกหลายคนเป็นผู้ร่วมคิดแต่ไม่ได้มีตำราที่ตีพิมพ์ไว้ แต่ต่อมามีนักคณิตศาสตร์ที่สนใจเพอร์สเปคทีฟเช่น ลีออน แบททีสทา อัลเบอร์ทิ (Leon Battista Alberti) เขียนตำราชื่อ เดตา พิททูรา (Della Pittura) ซึ่งเป็นตำราแสดงระยะในการเขียนภาพ และสร้างทฤษฎีที่เกี่ยวการฉายภาพบนระนาบหรือรังสีของแสงผ่านตาไปยังทิวทรรศน์ทำให้ได้ภาพในระนาบ เขาสามารถคำนวณความสูงและระยะทางของวัตถุโดยใช้สามเหลี่ยมคล้าย ซึ่งอาศัยหลักการสามเหลี่ยมคล้ายของยูคลิดซึ่งแสดงลักษณะเบื้องต้นของเพอร์สเปคทีฟ หลักการของเพอร์สเปคทีฟ
สามารถอธิบายเพอร์สเปคทีฟได้โดยประยุกต์หลักการศิลปะเชิงกราฟ พิจารณาจากภาพที่ 6 สายตาที่มองเห็นมีข้อจำกัดใน 2 ทาง คือ
1. มองเห็นวัตถุภายในขอบเขตที่เห็น (field of vision) ซึ่งอยู่ในวงรีที่วงไว้ จุดยอดของกรวยกลมอยู่ที่ดวงตา ภาพที่มองออกไปสำหรับคนปกติ จะวัดขนาดของมุมที่จุดยอดของกรวยได้ประมาณ 120 องศา ซึ่งมุมนี้วัดได้จากขนาดของเรตินา และระยะทางจากวัตถุ
2. สายตามองไปที่จุดในแนวเส้นตรง ไม่สามารถมองเห็นด้านหลังของวัตถุ เพราะฉะนั้นจุดประสงค์ของการมองเห็นหุ่นหรือสิ่งของคือจุดทั้งหมดจะอยู่ในรังสีจากสายตาเท่ากัน เพราะว่าสายตามองเห็นจุดเหล่านั้นเพียงครั้งเดียว ในหลักการทางคณิตศาสตร์จุดเหล่านี้สามารถกำหนดเป็นจุดตรงกันข้ามกับวัตถุได้
หลักการทางคณิตศาสตร์ที่ค้นพบและนำไปประยุกต์ของเพอร์สเปคทีฟ มีบทนิยามและทฤษฎีบทที่สำคัญดังต่อไปนี้
บทนิยาม 1. ปริภูมิยูคลิตสามมิติ V (Three – dimensional Euclidean space V) คือเซตของจุด
p = (x, y, z) ซึ่งแทนด้วยพิกัดจำนวนจริง 3 จำนวนหลายจุด ระนาบจำนวนจริง เชิงภาพฉาย (real projective plane) P2 คือเซตของจุดทั้งหมดใน V ยกเว้นจุดกำเนิด นั่นคือ
P2 = { p = (x, y, z) | x, y, z เป็นจำนวนจริงยกเว้นทุกค่าเป็น 0}
ภายใต้เงื่อนไขที่ว่าแต่ละจุดคือจุดเอกเทศด้วยค่าสเกล่าที่ไม่เป็น 0 คูณกับตัวของมันเอง ดังนั้น p ก็คือ kp เมื่อ k เป็นจำนวนจริงไม่เป็น 0
บทนิยาม 2. จุดในระนาบจำนวนจริงเชิงภาพฉาย P2 คือเส้นในปริภูมิยูคลิตสามมิติ V ที่ผ่านไปตลอด ยกเว้นจุดกำเนิด เส้นในระนาบจำนวนจริงเชิงภาพฉาย P2 คือระนาบในปริภูมิยูคลิตสามมิติ V ที่ผ่านไปตลอด ยกเว้นจุดกำเนิด
ทฤษฎีบท 1. ในระนาบจำนวนจริงเชิงภาพฉาย จุด 2 จุดที่แตกต่างกันจะกำหนดเส้นได้เส้นเดียวที่ผ่านจุด 2 จุดนี้ เส้น 2 เส้นที่แตกต่างกันจะกำหนดจุดได้จุดเดียวที่ผ่านเส้น 2 เส้นนี้
ทฤษฎีที่สำคัญที่เกี่ยวกับเพอร์สเปคทีฟของจุดและเส้นมีดังนี้
บทนิยาม 3. สามเหลี่ยมใดๆ 2 รูป เป็นเพอร์สเปคทีฟจากจุด (perspective from a point) ถ้ากำหนดให้เส้นตรงที่สอดคล้องกับจุดยอดเข้าคู่กันมีจุดตัดร่วมกันได้
สามเหลี่ยมใดๆ 2 รูป เป็นเพอร์สเปคทีฟจากเส้น (perspective from a line) ถ้ากำหนดให้จุดที่สอดคล้องกับเส้นเข้าคู่กันจะมีด้านตัดร่วมกันได้
เพอร์สเปคทีฟจากจุดและเพอร์สเปคทีฟจากเส้นอธิบายได้ดังภาพต่อไปนี้ ภาพที่ 8 เป็นเพอร์สเปคทีฟจากจุด abc และefg มีเส้นตรงที่สอดคล้องกับจุดยอดเข้าคู่กันคือ ab กับ gf , ac กับ ge และ bc กับ fe เข้าคู่กัน จุด k เป็นจุดที่abc และefg เป็นเพอร์สเปคทีฟกัน
ทฤษฎีบท 2. สามเหลี่ยมใดๆ 2 รูป เป็นเพอร์สเปคทีฟจากจุด ก็ต่อเมื่อสามเหลี่ยม 2 รูปนั้นเป็นเพอร์สเปคทีฟจากเส้น
ส่วนประกอบของภาพเพอร์สเปคทีฟ
ภาพเพอร์สเปคทีฟเป็นภาพที่ให้ความรู้สึกมีความลึกให้ความคุ้นตาเป็นไปตามธรรมชาติที่มองเห็น ส่วนประกอบของภาพเพอร์สเปคทีฟ ประกอบด้วย (ภาพที่ 10)
1. เส้นแผ่นระนาบ (picture plane) คือเส้นระนาบเพื่อที่จะเขียนภาพ หรือระนาบที่จะเขียนภาพ หรือ คือแผ่นกระดาษนั่นเอง
2. เส้นพื้น (ground line) คือพื้นห้อง หรือเส้นพื้นโลกที่วัตถุวางอยู่
3. เส้นระดับตา (horizon line) คือเส้นที่ขนานกับเส้นพื้นและจะขึ้นลงได้ ถ้ามองจากที่สูง หรือต่ำ เป็นเส้นสำคัญที่จุดรวมสายตา (vanishing point) จะอยู่บนเส้นนี้
4. จุดมอง (station point) คือตำแหน่งที่มอง ถ้าจุดมองอยู่ใกล้วัตถุเกินไปจะทำให้เกิดภาพประหลาดได้
ภาพเพอร์สเปคทีฟมีลักษณะ 3 แบบ (ภาพที่ 11– 15) คือ
แบบที่ 1. เพอร์สเปคทีฟจุดเดียว (one - point perspective) หรือแบบขนาน (parallel perspective) จะมีเส้นขนาน 2 ชุด คือชุดที่ 1 จะขนานกับเส้นแผ่นระนาบ และชุดที่ 2 จะตั้งฉากกับเส้นแผ่นระนาบ
แบบที่ 2. เพอร์สเปคทีฟ 2 จุด (two - point perspective) จะมีจุดรวมสายตา 2 จุด สำหรับเส้นคู่ขนาน 2 ชุด แต่ละชุดไปบรรจบที่จุดรวมสายตาของแต่ละจุด
บทสรุป
เพอร์สเปคทีฟเป็นเรื่องของภาพที่มองเห็นด้านต่างๆ ทุกด้าน โดยเฉพาะภาพทิวทัศน์จะเห็นเป็นภาพลึกสมจริงตามธรรมชาติมา เพอร์สเปคทีฟเป็นการประยุกต์ทางเรขาคณิตภาพฉายซึ่งเป็นสาขาหนึ่งคณิตศาสตร์ มีประโยชน์สำหรับนักคอมพิวเตอร์ที่นำไปใช้เขียนโปรแกรมเกี่ยวกับภาพ 3 มิติ เพื่อช่วยออกแบบโดยเฉพาะด้านการสร้างภาพยนตร์ และการโฆษณา นอกจากนี้นักเขียนแบบออกแบบมีการใช้เพอร์สเปคทีฟเขียนภาพ เขียนแบบโครงสร้างอาคาร และเขียนรูปภาพ ซึ่งได้ภาพมองเห็นได้ทุกด้าน
ที่มา
http://en.wikipedia.org. |
http://www.termespheres.com/perspective.html |
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น